Почему Е=mc²? И почему это должно нас волновать - [15]

Давайте еще раз посмотрим на рис. 2 и предположим, что время, затраченное на половину такта часов на поезде, измеренное человеком на платформе, равно T. Это время, необходимое свету, чтобы добраться от нижнего зеркала до верхнего. Наша цель – выяснить, чему T равно на самом деле, и удвоить его, чтобы получить время одного такта часов с точки зрения человека на платформе. Зная значение T, мы можем сказать, что длина гипотенузы треугольника равна cT, то есть скорости света c, умноженной на время T, необходимое свету, чтобы добраться от нижнего зеркала до верхнего. Вспомните, что расстояние, которое преодолевает движущийся объект, рассчитывается путем умножения скорости на время движения. Например, расстояние, пройденное машиной, перемещающейся со скоростью 60 километров в час, за два часа составляет 60 × 2 = 120 километров. Все, что мы сделали, – просто применили формулу «расстояние = скорость × время». Зная значение T, мы можем выяснить, какой путь прошел свет за половину такта часов. Если поезд движется со скоростью v, то за полтакта он переместится на расстояние vT. Мы вновь не использовали ничего, кроме формулы «расстояние = скорость × время». Это расстояние представляет собой длину одного из катетов прямоугольного треугольника, так что для вычисления расстояния между зеркалами (соответствующего второму катету) воспользуемся теоремой Пифагора. Но мы знаем, что это расстояние равно 1 метру. Итак, согласно теореме Пифагора (cT)² = 1² + (vT)². Обратите внимание на скобки: в математике они говорят о том, какая операция должна выполняться первой. В нашем случае сначала следует выполнить умножение, а затем возвести полученное значение в квадрат. Вот и все.

Итак, мы почти закончили. Нам известна скорость света c; предположим, что нам известна и скорость поезда v. Тогда мы можем воспользоваться полученным уравнением, чтобы вычислить значение T. Грубый способ сделать это – угадать его и посмотреть, насколько оно подходит. Но, скорее всего, вам это вряд ли удастся, и придется делать новые попытки. Возможно, вам повезет и вы все же в какой-то момент добьетесь своего. Но, к счастью, есть более простой и надежный способ – уравнение можно «решить», выполнив простые математические преобразования и получив T² = 1/(c² − v²). Это означает следующее: «сперва вычислите c² − v², а затем разделите единицу на полученное значение». Здесь косая черта означает операцию деления, то есть ½ = 0,5 и т. д. Если вы хотя бы немного знаете математику, вам сейчас невероятно скучно. Если нет, то вы можете захотеть узнать, как мы вывели формулу T² = 1/(c² − v²). Поскольку это книга не о математике, просто поверьте нам. Если хотите – подставьте несколько чисел и убедитесь, что мы правы. Фактически мы вычислили не само время T, а T², что означает T, умноженное на T. Получить значение T можно путем извлечения квадратного корня.

Математически квадратный корень – это число, которое, будучи умножено само на себя, дает нам исходное число. Например, квадратный корень из девяти равен трем, а из семи – примерно 2,646. На калькуляторах есть специальная кнопка для вычисления этого значения. Она обычно помечена символом √, а математическая запись имеет такой вид: 3 = √9. Как видите, извлечение квадратного корня – это операция, обратная возведению в квадрат: 4² = 16 и √16 = 4.

Но вернемся к нашей задаче. Теперь мы можем записать время одного такта световых часов с точки зрения наблюдателя на платформе – оно равно времени, необходимому для движения светового луча от нижнего зеркала к верхнему и назад, то есть 2T. Взяв квадратный корень из T² и умножив его на два, получим 2T = 2 ÷ √(c² − v²). Это уравнение позволяет вычислить время одного такта, которое измерил наблюдатель на платформе, зная скорость света и скорость поезда, а также расстояние между зеркалами (1 метр). Но время одного такта для наблюдателя в поезде рядом с часами равно просто 2/с, так как для него свет проходит два метра со скоростью c (расстояние = скорость × время, поэтому время = расстояние/скорость). Вычислив отношение этих двух промежутков времени, мы определим, насколько медленнее отсчитывают время часы в поезде с точки зрения наблюдателя на платформе. Они идут медленнее в c ÷ √(c² − v²) раз, что можно записать после небольшого математического преобразования как 1 ÷ √(1 − v² ÷ c²). Это очень важная величина в теории относительности, обычно обозначаемая греческой буквой γ (произносится «гамма»). Обратите внимание, что γ всегда больше 1, если часы движутся со скоростью, которая меньше скорости света c, поскольку v/c меньше 1. При скоростях, гораздо меньших скорости света (то есть для большинства обычных скоростей, так как скорость света, будучи записана в привычных единицах, составляет чуть больше миллиарда километров в час), значение γ очень близко к 1. И только когда скорость движения составляет существенную долю скорости света, γ начинает заметно отличаться от 1.

На этом пока завершим математические упражнения – нам удалось выяснить, как именно замедляется время на движущемся поезде по отношению ко времени на платформе. Давайте назовем некоторые цифры, для того чтобы прочувствовать происходящее. Если поезд движется со скоростью 300 километров в час, то, как можно убедиться самостоятельно, значение