Очевидное? Нет, еще неизведанное… [заметки]

Шрифт

Интервал

Mare incognitum — Море неизвестности (Неведомое море).

«Портуланы» и «периплы» — компасные морские карты и лоции.

Теофраст Бомбаст Парацельс — виднейший врач и химик средневековья.

Вообще говоря, падающий предмет отклоняется к юго-востоку, но отклонение на юг очень мало по сравнению с отклонением на восток.

Можно считать, правда, что Галилей и здесь отчасти предвосхитил Ньютона.

Равными называются отрезки, которые можно совместить между собой путем процессов движения. Свойства движения, в свою очередь, определяются аксиомами геометрии. Возможность деления любого отрезка на два, а следовательно, и на любое число вида 2^>п равных отрезков доказывается при помощи других аксиом геометрии.

Для длины, определенной таким образом, можно доказать следующие важные теоремы:

Теорема 1. Длина всякого отрезка существует и определяется единственным образом для данного выбора масштабного отрезка.

Теорема 2. Длины равных отрезков равны.

Теорема 3. Если отрезок AC есть сумма отрезков AB и BC, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Теорема 4. Длина масштабного отрезка равна единице.

Впрочем, если рассуждать совсем строго, в определении длины осталось еще очень много пробелов. Отметим только один, и весьма существенный.

Вы, возможно, заметили, что в процессе определения длины вкралось понятие движения. Без движения нельзя определить, равны ли между собой два отрезка. Нельзя и отложить масштаб.

Геометры берут движение за основное понятие и определяют его свойства, вводя несколько аксиом (групп аксиом движения). Но это слишком сложно. И вообще их «математическое» движение есть какое-то «малопонятное» преобразование математического пространства самого в себя. А мы имеем дело с обыкновенным физическим движением реальных физических тел, и хотелось бы определить его попроще, пусть даже не идеально строго.

Но эту задачу не так просто решить. Если длина определяется при помощи движения, то, чтобы определение ее было безупречным, следует движение определять, не используя понятия длины. Не могу утверждать уверенно, но создается впечатление, что понятие движения невозможно строго определить, не используя понятия длины.

Действительно: «Движением данного тела относительно каких-либо других тел называется изменение его положения относительно этих тел». Другого определения не видно.

Точный же анализ слов «изменение положения» нельзя проделать, не владея понятием длины. Но поскольку при определении длины используется понятие движения, а при определении понятия движения понятие длины — налицо порочный круг.

Математик не допустил бы подобной ошибки. Но мы не будем обращать внимание на такие тонкости. Хотя, конечно, при этом остается чувство известной неудовлетворенности.

То есть та геометрия, формулы которой мы используем при расчете. Тригонометрические формулы ведь различны, например, в геометрии Эвклида и в геометрии Лобачевского.

Забегая вперед, заметим: до Эйнштейна считали самоочевидным, что длина — понятие абсолютное (априорное), хотя основанием к этому была лишь бессознательная апелляция к опыту.

После Эйнштейна стало ясно, что длина тела — понятие относительное. Длина одного и того же отрезка оказывается различной в зависимости от того, из какой системы отсчета мы проводим его измерения. В этом снова убеждает опыт. В классической физике длину считали абсолютной величиной просто потому, что при скоростях, много меньших скорости света, длина движущегося относительно масштаба тела почти точно совпадает с длиной этого же тела, когда оно неподвижно относительно масштаба. И заметить такое отклонение было совершенно невозможно.

Кстати, в октябре 1960 года на Международной конференции мер и весов было принято новое определение эталона длины.

За эталон принята длина световой волны оранжевой линии спектра изотопа криптона-86. Таких волн в метре укладывается 1 650 763.

Солнечные сутки — время между прохождениями Солнца через верхнюю точку своего видимого пути. Звездные сутки определяются аналогично, но вместо Солнца берут любую звезду.

Например, мы убеждаемся на опыте, что процесс поворота Земли по отношению к неподвижным звездам на любой сколь угодно малый угол относится к процессам, включенным в семейство эталонов времени.

Строго говоря, проходит еще несколько сотых долей секунды с момента, когда луч света достиг глаза, до мгновения, когда судья нажимает секундомер. Скорость реакции человека сравнительно невысока. Но допустим, что наш судья — идеальный автомат.

Мы неоднократно говорили: все ошибочные с точки зрения теории относительности постулаты классической физики вытекают из опыта. С другой стороны, теория Эйнштейна также следует из опыта.

Как это может быть?

Дело в том, что при опытах со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, классическая физика с высокой степенью точности описывает мир.

Наши постулаты и определения — обобщение именно таких экспериментов. Поэтому-то долгое время и не замечали, что, строго говоря, некоторые из этих постулатов ошибочны.

В этот момент относительная скорость частиц воды и стенок сосуда наибольшая.

Сила трения.

«Гео» — Земля, «Гелиос» — Солнце.

Именно это и пришлось сделать физикам, когда была создана теория относительности. Но пока скорости много меньше световой, можно считать, что интервал Δt неизменен во всех системах.

Попутно стоит отметить некоторые любопытные свойства подобной модели вселенной. Если каждая пчела соответствует звезде средних размеров, то, поместив одну из них — Солнце — в Москву, чтобы сохранить масштаб, ближайшую пчелу — Проксима Центавра — пришлось бы отправить куда-то в район Ленинграда. А наиболее далекие пчелы роя, изображающего нашу Галактику, оказались бы на расстоянии примерно в два раза большем, чем расстояние от Земли до Луны. И наконец, отдельные рои — галактики — в нашей модели разделены расстояниями в десятки миллионов километров. Земля в такой модели (стыдно сказать!) была бы пылинкой диаметром в сотую долю сантиметра. И может быть, самое обидное, что в нашем масштабе рост человека — приблизительно 10^>–9 сантиметра — в несколько раз меньше диаметра атома водорода. Такая модель соответствует уменьшению всех масштабов в 10^>11 раз.

Следует еще раз напомнить, что на самом деле t ≠ t^>1. Но отличие заметно, только если относительная скорость систем отсчета сравнима со скоростью света.

Эта фраза не совсем точно отражает суть дела, поскольку сила может характеризовать также взаимодействие тела с полем. Но чтобы не терять времени на обсуждение сложного (правда, едва ли не основного в современной физике) понятия поля, удовлетворимся вышесказанным.

О векторах уже упоминалось, но, к сожалению, мы не можем подробно разбирать, что такое вектор. Отметим только замечательное правило сложения векторов — правило треугольника (или, как иногда говорят, правило параллелограмма).

«Чтобы сложить два вектора, надо отложить один из них. Затем из конца первого вектора провести второй. Сумма этих двух векторов — это вектор, проведенный из начала первого вектора в конец второго».

Слова «сила — вектор», в частности, означают, таким образом, что если на данное тело действуют две силы A и B, то результат их действия таков же, как если бы действовала одна сила C. Все это очень нестрого, но не стоит отвлекаться.

Снова, забегая вперед, отметим, что это положение верно только приближенно. Но пока скорости много меньше световой, зависимость массы от скорости совершенно незаметная.

Надо сказать, что на этих вещах действительно не стоит очень задерживаться, потому что всю механику Ньютона можно построить, используя некоторые очень общие принципы; причем число постулатов и определений сводится до минимума и достигается совершенная ясность.

Знакомый с силами Кориолиса читатель легко заметит: установив, что какое-то свободное тело покоится, еще нельзя утверждать, что система отсчета инерциальна. Строго говоря, одного свободного тела вообще недостаточно для проверки системы отсчета «на инерциальность». Необходимо исследовать движение трех тел, движущихся не в одной плоскости. Но это уже тонкости.

В реальном опыте Фуко характер «розетки», вырисовываемой маятником, другой, но это связано с несущественными для нас деталями опыта.

Можно только заметить, что если, исследуя понятие инерциальной системы в рамках классической механики, как-то удалось свести концы с концами, использовав понятие тела, достаточно далеко удаленного от всех остальных, то с точки зрения теории относительности такая постановка вопроса совершенно неудовлетворительна. Оказывается, что слова «достаточно далеко» вообще не имеют смысла.

Два тела могут находиться «очень далеко» друг от друга, если измерять расстояние между ними в одной системе отсчета. И «очень близко», если измерять расстояние между ними в другой системе, равномерно и прямолинейно движущейся относительно первой. (Это замечание будет понятно для тех читателей, кто доберется до XIII главы.)

Так что на самом деле положение с понятием инерциальной системы еще хуже, чем может показаться на первый взгляд. Правда, известную определенность в этот вопрос внесли работы Эйнштейна, но мы ничего о них не скажем.

Пользуясь предельно глубокой аналогией, можно сказать: Декарт постулировал нечто вроде мирового сепаратора.

Можно без труда показать, что шар (Земля) притягивает тела так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре.

«Материальной» здесь означает — состоящей из мельчайших частиц.

Субтильный — тонкий, хрупкий.

Именно кольца Ньютона — первый эффект, в котором проявились периодические свойства света, и именно Ньютон первый это понял.

Два луча на выходе получаются тогда, когда соответствующие кристаллографические оси либо совпадают, либо угол между ними составляет 90°. Поэтому, поворачивая нижний кристалл на полный угол в 360°, мы 4 раза будем наблюдать на выходе 2 луча вместо 4.

Турмалин тоже двояко преломляющий кристалл, но один из лучей в нем полностью поглощается.

Конечно, мы снова отказываемся от разбора этих работ.

Наблюдатель, естественно, отмечает момент t_>T. Момент t_>1 можно установить только при помощи расчетов, зная также r_>1 и C.

Точное значение, как известно, 299 976 км/сек.

Для простоты рассматривается случай, когда звезда находится в плоскости земной орбиты (в плоскости эклиптики).

Несущественная для нас тонкость! Если звезда находится не в плоскости эклиптики, ее видимое движение происходит по эллипсу, подобному земной орбите, как она представляется со звезды.

Между прочим, по годичному параллаксу звезды определяют ее расстояние до Земли. В наши дни параллакс определяют с точностью 0,01″. Это угол, под которым человеческий волос виден с расстояния 1,5 километра!

«Аберрация» дословно означает «отклонение», «заблуждение». Поэтому не приходится удивляться, что термин «аберрация» используют также для обозначения совершенно отличных по своей природе физических явлений, связанных с искажением хода световых лучей. Существует еще «хроматическая аберрация», «сферическая аберрация», «продольная аберрация» и еще несколько аберраций.

Орбитальная скорость Земли была известна — 30 километров в секунду.

Следует напомнить, чтó мы понимаем под неподвижным эфиром. Эфир считается покоящимся в системе неподвижных звезд.

Отношение скорости Земли к скорости света равно 30 км/сек / 3 · 10^>5 км/сек = 10^>–4. Тангенс такого малого угла с высокой степенью точности равен самому углу (угол измеряется в радианной мере). Поэтому

φ = ^>v/_>c.

Этот эксперимент проделал, в частности, Эйри (1872 г.). Но если верить Майкельсону («Лекции по оптике»), у Эйри были предшественники, причем эксперимент был сделан, во всяком случае, до опытов Физо (1852 г.). Точную ссылку на работу Майкельсон не дает.

Например, Максвелл подметил, как из опытов Ремера можно «выловить» движение солнечной системы в целом относительно эфира уже «в первом порядке». Подробнее см.: Ландсберг, Оптика.

В первом примере. Порт — источник света. Корабль — приемник. Катера — световые волны. И наконец, море — неувлекаемый эфир.

Во втором. Корабль — источник. Порт — приемник.

Уже упоминалось, что теория неувлекаемого эфира совершенно аналогична теории распространения звуковых волн в атмосфере. Атмосфера — «неувлекаемый звуковый эфир».

Во избежание путаницы надо представлять, что поскольку (как мы увидим дальше) теория неувлекаемого эфира неправильна, неправильно и дальнейшее описание опыта.

Здесь впервые используются приближенные вычисления, на которые, несмотря на их важнейшее значение, мало обращают внимания в школе. Поэтому поясним вывод как приведенной формулы, так и еще одной, неоднократно используемой в дальнейшем.

Если α очень мало, можно утверждать, что

Доказать это очень просто.

Пункт № 1. Когда α мало, то

Действительно, возводя обе части приближенного равенства в квадрат, получаем 1 – α ≈ 1 – α + α^>2/4.

Правая часть равенства больше левой на α^>2/4, но если α << 1, то α^>2 совсем уже малая величина и ею можно пренебречь (если, например, α = 0,001, α^>2 = 0,000001).

Итак, с точностью до членов порядка α^>2,

Пункт № 2. Умножим числитель и знаменатель дроби 1/(1 – ^>α/_>2) на 1 + ^>α/_>2. Получим, что

Как и раньше, можно пренебречь членом α^>2/4 в знаменателе. Тогда окончательно

Это равенство справедливо с точностью до членов порядка α^>2. Не следует опасаться, конечно, того, что мы пренебрегали членами порядка α^>2 не один, а два раза. Это не может сколько-нибудь заметно увеличить ошибку.

Фактически невозможно уловить разницу между тысячью человек, тысячью без одного или же тысячью без двух.

Так как v_>Земли = 30 км/сек., то v_>Земли/C = 10^>–4 и (t_>N1 – t_>N2) = t_>0v^>2/2c^>2 = t_>0/2 · 10^>–8.

Теплород, флогистон, horror vacui (ужас пустоты) — все это в свое время очень модные и распространенные теоретические концепции, отброшенные в дальнейшем как несостоятельные.

Эта же гипотеза была независимо сформулирована Фитцджеральдом.

Любопытно, что статья Пуанкаре послана в печать на три недели позже, чем работа Эйнштейна.

Основной немецкий физический журнал «Анналы физики».

Стоит обратить внимание на последнее замечание, потому что вращательное движение системы отсчета относительно неподвижных звезд влияет на оптические и электромагнитные явления в этой системе. В связи с этим уместно обсудить один гипотетический курьез. Из теории относительности следует, что, например, суточное вращение Земли должно влиять на оптические явления. Майкельсон и Гель в 1925 году сделали изумительно тонкий опыт и обнаружили этот эффект. Еще в 1913 году влияние вращения системы отсчета относительно неподвижных звезд на оптические и электромагнитные явления экспериментально установил Саньяк (правда, идея опыта также принадлежала Майкельсону).

Но весь юмор в том, что для этих опытов предсказания теории относительности качественно совпадают с предсказаниями теории и неувлекаемого эфира. В данном случае правильная и неправильная теории дают один и тот же результат.

И представьте себе, насколько опоздало бы появление теории Эйнштейна, если бы Майкельсон сначала проделал опыт с суточным вращением, чтобы показать, что эфир не увлекается вращательным движением Земли. Ведь все считали бы, что существование неувлекаемого эфира доказано. Лучшее подтверждение гипотезы неувлекаемого эфира, казалось бы, трудно придумать. А если бы еще Майкельсон почил на лаврах и свой «настоящий» опыт не стал делать, то…

В общем лучшей темы для рассуждения о том, что было бы, если бы… желать не надо.

Эти, мягко говоря, несколько наивные соображения иллюстрируют тем не менее один примечательный момент: опровергнуть теорию можно при помощи одного эксперимента. Чтобы утвердить ее, необходима тьма и тьма различных опытов.

Как помните, для объяснения опыта Майкельсона достаточно принять принцип относительности.

Так что, говоря о теории Ритца до обсуждения теории относительности, мы несколько погрешили против хронологии.

Легко можно убедиться, что парадокс с наблюдателем, «оседлавшим» световой луч, равно возникает как в теории неувлекаемого эфира, так и при рассмотрении баллистической теории. Разница только в том, что в баллистической теории можно рассматривать парадокс в любой инерциальной системе отсчета, а в теории эфира — только в абсолютной системе — неувлекаемом эфире. Эйнштейн, как видите, долго не понимал, как можно объяснить этот парадокс.

Здесь уместно сделать маленькое отступление. Так же как и в классической физике, в специальной теории относительности «пустое пространство» считается «однородным и изотропным». Иными словами, физические свойства пространства совершенно идентичны по всем возможным направлениям. Выделенного направления нет (изотропность). Точно так же равноправны все точки пространства (однородность). Изотропность и однородность пространства подразумеваются всюду в дальнейшем.

Строго говоря, это тоже некий постулат, вытекающий из всего нашего опыта. Изотропность пространства по отношению к «электромагнитным процессам» видна, например, из того факта, что скорость света одинакова во всех направлениях (фронт световой волны занимает поверхность сферы). Еще раз с удовольствием отметим: физические утверждения даже самого общего характера всегда диктуются только опытом. Без ссылки на опыт всякие рассуждения беспредметны. Могло оказаться, что «пустое» пространство устроено подобно кристаллу и анизотропно. Только практика может убедить в противном. Она и убеждает…

Маленькая логическая тонкость! Независимость скорости световой волны от движения источника света относительно данной инерциальной системы отсчета учтена в нашем определении, поскольку мы говорим о «любой» световой волне (в том числе и о тех, которые посланы движущимися источниками). Замечание о постоянстве скорости при любом направлении распространения фиксирует изотропность пространства. Ввиду принципа относительности наше утверждение в равной мере относится ко всем инерциальным системам, если только оно справедливо в какой-нибудь одной.

В скобках вместо слов «любое взаимодействие» написано «любой сигнал». Под сигналом мы не подразумеваем ничего отличного от житейского понятия. Сигнал — это все, что мыслимо использовать для передачи в точку А сведений о том, что творится в точке В. Словом, сигнал — это передача информации.

Ясно, почему поставлен знак равенства между взаимодействием и сигналом. Передачу сигнала можно осуществить, только использовав какое-нибудь взаимодействие (электромагнитное, гравитационное и т. д.) между объектами А и В. А максимальная скорость распространения взаимодействия и есть максимальная скорость передачи сигнала (информации). Заметим, наконец, что понятие «событие» в теории относительности является первичным и по смыслу соответствует обычному житейскому содержанию этого слова.

Из абсолютности одновременности сразу следует абсолютность времени в классической физике, но мы не будем исследовать эту сторону дела.

Интересно, хотя и не очень тесно связано с предыдущим, что уже в классической физике следует осторожно пользоваться выражениями: «два неодновременных события произошли в одной точке» и «два неодновременных события произошли в разных точках».

Эти слова получают содержание, если только указана система отсчета. Пассажир поезда Москва — Ленинград, используя систему отсчета, связанную с поездом, скажет, что такие два события, как гудки паровоза, данные при отправлении из Москвы и при прибытии в Ленинград, произошли в одной точке пространства. Вряд ли стоит объяснять, что с точки зрения жителей Земли эти события произошли в разных точках. Поэтому совпадение двух неодновременных событий в пространстве относительно уже в классической физике.

А совпадение двух событий во времени — в классической физике понятие абсолютное. То есть: если два события одновременны в одной системе отсчета, то они одновременны в любой другой системе.

Абсолютность совпадения или несовпадения в пространстве двух одновременных событий в классической физике постулируется, хотя, следует ли это из факта бесконечной скорости распространения взаимодействий, вообще трудно спорить. Нам не стоит задерживаться на этих тонкостях. Строго говоря, абсолютности одновременности скорее так же постулируется, а не следует непосредственно из гипотезы о бесконечной скорости распространения взаимодействий.

Кстати, без понятия одновременности весь предыдущий анализ был, строго говоря, бессодержателен, так как мы не знали, что такое время в разных точках пространства. Эта неточность, впрочем, была допущена сознательно, поскольку необходимость по-новому определить понятие одновременности из только что проделанного рассуждения видна очень хорошо, а чтобы сделать его безукоризненно строгим, достаточно небольших уточнений.

Любопытно, что в математике часто оперируют схемами, не имеющими прямого отношения к реальному миру. Достаточно вспомнить неэвклидову геометрию. Геометрий можно построить много, а в реальном мире осуществляется только одна из них.

Можно, повторяю, выдумывать не связанные с причинностью определения одновременности, так же как возможно, скажем, назвать судьбу «индейкой», однако все тот же Козьма Прутков (простите автору его слабость) резонно недоумевал по этому поводу: «Не совсем понимаю: почему многие называют судьбу индейкою, а не какой-либо другою, более на судьбу похожею птицею?»

Чтобы легче представить себе, что получится, мысленно вообразите поезд длиной в 10 световых лет, движущийся со скоростью 150 тысяч километров в секунду.

Стоит обратить внимание на то, что формулы Лоренца имеют смысл только, если относительная скорость систем отсчета V < C. При V > C корень в знаменателе, как легко видеть, — мнимая величина. Впрочем, все это можно было утверждать заранее, так как математический формализм обязан соответствовать физическим предположениям, а, как помните, скоростей больших C, не может быть!

Очень несложно убедиться, что задача определения относительной скорости двух тел тождественна отысканию закона сложения скоростей.

Вывод этого соотношения настолько прост, что его можно продемонстрировать.

Чтобы найти длину движущегося стержня, наблюдатель должен одновременно зафиксировать начальную и концевую точки x_>1 и x_>2. Тогда (x_>2 – x_>1) и есть длина стержня l.

Чтобы найти связь между l и l_>0, следует, используя преобразования Лоренца, связать координаты (x_>1^>1 и x_>2^>1) начальной и концевой точек в той системе, где он покоится, с соответствующими координатами x_>1 и x_>2, определенными в той системе отсчета, где он движется:

Обратим внимание: в правой формуле стоит одно и то же время t_>1.

Это соответствует тому, что при определении длины движущегося стержня нужно одновременно фиксировать его начальную и концевую точки. Вычитая из нижней формулы верхнюю, получим:

Но (x_>2^>1 – x_>1^>1) = l_>0 — длина стержня, определенная в системе, где он покоится. А (x_>2 – x_>1) = l — длина движущегося стержня.

Таким образом

Это название принято, поскольку в теории Лоренца (о ней упоминалось в главе XI) предполагалось, что длина тела, движущегося относительно эфира, сокращается; причем формула для сокращения такая же, как в теории относительности. Но физическое содержание формулы сокращения длины у Лоренца (как и всей его теории) совершенно отлично от содержания теории Эйнштейна. Например, в теории Лоренца имеет смысл говорить об абсолютной длине l_>0 — длине тела, неподвижного относительно эфира.

Именно эту идею и развивал Лоренц в своей теории, полагая, что движение тел относительно неувлекаемого эфира вызывает сокращение длины.

Двое часов, находящихся в разных точках и неподвижных в данной системе отсчета, синхронны, если они одновременно показывают одинаковое время. При этом понятие одновременности определяется именно относительно этой системы отсчета. Однако с точки зрения наблюдателя из другой системы отсчета эта пара часов не будет синхронна.

В этом случае понятие одновременности, необходимое для определения синхронности часов, естественно, определяется в системе отсчета, связанной с поездом.

Ввиду большого значения этого положения стоит его повторить… Промежуток времени между двумя событиями минимален в той системе отсчета, где они произошли в одной точке пространства. Этот промежуток времени обозначают как Δτ и называют собственным временем. В любой другой инерциальной системе промежуток времени между этими событиями определяется через Δτ соотношением:

Воспользуемся случаем, чтобы напомнить некоторые моменты релятивистской теории эффекта Допплера для электромагнитных волн. На первый взгляд она не очень отличается от классической, и нет оснований говорить о каких-то «удивительных» выводах.

Снова, если источник и приемник двигаются навстречу друг другу, воспринимаемая приемником частота больше, чем если бы они покоились. И так же, как и раньше, если источник и приемник удаляются — воспринимаемая частота меньше. Все это очень напоминает выводы классической теории.

Но есть одно важнейшее отличие. Ясно, что если отброшен неувлекаемый эфир и для электромагнитных явлений справедлив принцип относительности, то не имеет смысла различать два разных случая: 1) источник движется, скажем, навстречу приемнику, а приемник покоится и 2) приемник движется навстречу источнику, а источник покоится. Как только отброшена «абсолютная система отсчета», такое различие теряет всякое содержание.

Изменение частоты определяется только относительной скоростью источника и приемника.

Если быть совсем точным, то надо добавить — той составляющей относительной скорости, что направлена по прямой, проходящей через две точки — «приемник» и «источник».

Не так уж важно, как именно изменяется формула для воспринимаемой частоты по сравнению с классической.

Существенно, что теория эффекта Допплера очень тесно связана с одним из самых поразительных выводов Эйнштейна — замедлением ритма движущихся часов. Поэтому, как уже сообщалось ранее, экспериментальную проверку своей формулы для эффекта Допплера Эйнштейн считал важнейшим опытом для проверки всей теории. Опыт великолепно подтвердил выводы Эйнштейна; причем любопытно, что сами экспериментаторы не понимали и не принимали его теории.

Математический вывод лоренцова сокращения времени так же, как и длины, очень прост. Рассмотрим две системы отсчета, К и К^>1, относительная скорость которых направлена вдоль оси X.

В системе, где вспышки произошли в одной точке, квадрат интервала между вспышками равен с^>2Δτ^>2, так как Δx — расстояние между точками, где произошли вспышки, — равно нулю. В системе, где вспышки случились в разных точках, квадрат интервала равен с^>2Δt^>2 – Δx^>2.

Поскольку интервал между событиями остается неизменным при переходе от одной системы к другой, то с^>2Δτ^>2 = с^>2Δt^>2 – Δx^>2, или

но так как ^>Δx/_>Δt = V (относительной скорости систем отсчета), то

Эта фраза сформулирована так учено потому, что мы не в состоянии углубляться в детальный анализ, а слова «ускорения малы» (или «велики») сами по себе еще ничего не значат. Необходимо дать критерий, указать точное математическое условие малости ускорений. Критерия мы приводить не будем, но, имея его в виду, осторожно пишем: ускорения малы «в некоем определенном смысле».

Наше рассуждение, конечно, дает лишь качественное объяснение парадокса с часами. Надо сказать, что по поводу конкретного вычисления разности хода часов А и В к моменту встречи существуют разные мнения. Здесь, а также в последней главе, где мы снова вспомним о парадоксе с часами, мы следуем тому мнению, которое можно считать общепринятым.

Это примерно в 3 раза больше второй космической скорости, необходимой для преодоления земного тяготения (11,2 километра в секунду).

Следует заметить, впрочем, что часто релятивистской кинетической энергией называют величину

В конечном счете вопрос заключается в выборе наиболее разумной терминологии, и потому мы не будем обсуждать этот факт, придерживаясь в дальнейшем того определения, которое дано в тексте, поскольку оно позволяет несколько проще объяснить связь массы и энергии, хотя, пожалуй, менее логично.

При ^>v/_>c << 1

Стоит воспользоваться случаем и обратить внимание на условный характер понятий «малого» и «большого». В нашем случае скорости «малы», если ^>v/_>c << 1, так что скорость в 100 км/сек очень незначительная.

Кстати, иногда приходится читать, что выделение (или поглощение) громадного количества энергии при ядерных реакциях вызвано изменением массы реагирующих веществ. Это утверждение, конечно, совершенно неправильно. Заметное изменение массы (дефект массы) свидетельствует, что реакция ядер идет с колоссальным выделением или поглощением энергии, а не объясняет, почему такое выделение энергии имеет место при ядерных реакциях. Ответ на вопрос «почему?» связан с такой «мелочью», как выяснение природы ядерных сил.

Заметьте, что массы атомов записаны в «слегка» необычной форме. В них выделен сомножитель 1,66 · 10^>–24 г. Это масса протона.

Впрочем, не нужно беспокоиться. Масса Солнца так велика, что можно не опасаться ее истощения. При такой мощности излучения Солнце «похудеет» вдвое за 6000 миллиардов лет.

Эта цифра, впрочем, сильно завышена, поскольку Земля излучает энергию в пространство, и суммарный «истинный» приход энергии меньше.

Впрочем, утверждение в тексте справедливо лишь в том случае, когда вся масса горючего превращается в кванты электромагнитного поля и отбрасывается реактивным двигателем. Если же в двигателе «сгорает» не все горючее вещество и продукты сгорания остаются в виде балласта, который приходится отправлять за борт ракеты, не получая при этом добавочный импульс, наиболее выгодным может оказаться другой режим, а именно такой, при котором вся масса вещества отбрасывается реактивным двигателем, но уже по необходимости со скоростью, значительно меньшей скорости света. Все это, однако, тонкости, не имеющие для нас особого значения.

Правда, для развлечения можно обсуждать и нейтринные ракеты. Масса покоя нейтрино равна нулю, и, следовательно, отдача посредством нейтрино может быть столь же выгодна, как и при помощи фотонов. Однако нейтринная ракета — это вообще нечто «по ту сторону добра и зла».

Это очень удобно еще и потому, что при скорости в 100 000 км/сек движение ракеты неплохо описывает старая, верная механика Ньютона.

В самом деле, при этой скорости масса ракеты возрастает по сравнению с массой покоя только на 6 процентов:

Соответственно импульс ракеты превышает импульс, рассчитанный по формуле Ньютона, на те же 6 процентов. Легко можно убедиться и в том, что кинетическая энергия нашей ракеты

превышает энергию, вычисленную по формуле классической механики, примерно на 8 процентов. В этом легко можно убедиться, вспомнив, что

Отклонения невелики, и, забыв о теории относительности, мы можем рассчитать движение такой ракеты, используя классическую механику.

Хотя такая варварски грубая оценка совершенно ошибочна, поскольку топливо находится на борту ракеты и потому приходится разгонять массу с «балластом», мы удовлетворимся принятым очень заниженным значением.

Кстати, подсчет показывает, что такое ядерное горючее также должно иметь фантастически высокий энергетический выход по сравнению с известными ядерными топливами.

Впрочем, некоторые ученые (их, правда, почти абсолютное меньшинство) возражают против такого рассмотрения, считая его незаконным. Так что вопрос в известной степени дискуссионен. Автор должен признаться, что ему не удалось найти работы, в которой проблема изменения хода времени на ракете была бы рассмотрена, на его взгляд, совершенно строго. Впрочем, вероятнее всего, этот вывод обусловлен недостаточно хорошим пониманием, а не дефектами самих работ.

Для наблюдателя на Земле время разгона, естественно, очень велико. Например, при ускорении g = 10 м/сек^>2 для достижения скорости v = (1 – (10^>–8/2))c период ускорения по собственному времени ракеты займет приблизительно 9,6 года. А на Земле за это время пройдет около 9600 лет.

Мы не в состоянии обсуждать здесь так называемый прямоточный фотонный двигатель, призванный уменьшить стартовую массу. Можно только заметить, что он принципиально не может спасти положения, потому что при субсветовых скоростях (порядка 200–250 тысяч км/сек) масса вещества, попадающего в ракету (это межзвездное вещество и предполагается использовать как горючее), ничтожно мала, а при скоростях, максимально близких к световой, — ничтожна эффективность двигателя, ибо разность скоростей засасываемой и выбрасываемой из сопла массы близка к нулю.

Позитроны и электроны — излюбленный объект для горючего у межзвездных скитальцев, потому что реакция между ними — единственная известная реакция, в которой вероятность того, что реагирующие частицы превратятся в гамма-кванты, равна единице. Например, протоны, реагируя с антипротонами, дают в результате мезоны, и, таким образом, масса покоя продуктов реакции не равна нулю. А надо, чтобы была равна, иначе горючее неидеально.

Хороший проводник можно подвесить в электромагнитном поле (широко известный способ осуществления «гроба Магомета»). Особенно хорошо этот опыт удается со сверхпроводником. Ну что же, можно хранить антижелезо в сверхпроводящем состоянии.