О движении - [49]
В 1756 году Эйлер издал свой труд «Теория движения твердых тел», в котором установил важнейшие законы вращения твердого тела. Для этого ему понадобилось ввести в механику новые, ранее неизвестные понятия о «моментах»[16]. Одно из них — момент инерции тела относительно оси вращения.
Если принять грузик нитяного маятника за материальную точку, то моментом инерции его относительно оси вращения будет произведение массы на квадрат длины нити. Момент инерции вращающегося тела есть сумма произведений масс его точек на квадраты расстояний от оси вращения.
Гюйгенс пользовался уже этой величиной при изучении колебаний физического маятника. Эйлер обобщил понятие о моменте инерции и применил его при выводе законов вращения всех тел.
Определение момента инерции тел даже правильной геометрической формы представляет собой сложную задачу. Ее решают, разбивая тела на бесконечно малые элементы, момент инерции которых легко определить. Суммируя моменты инерции всех элементов, определяют искомый момент инерции тела.
Например, чтобы найти момент инерции диска относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр, диск разбивают на большое число концентрических колец. Момент инерции диска равен сумме моментов инерции этих колец.
Подобным же способом можно определить момент инерции шара относительно одного из диаметров. Для этого нужно разделить шар системой параллельных плоскостей, перпендикулярных к этому диаметру, на множество дисков. Момент инерции шара равен сумме моментов инерции дисков относительно диаметра, служащего осью вращения.
Эйлер обратил особенное внимание на вращение свободного тела, примером которого может служить вращение Земли и других планет. Найденные им законы для такого вращения аналогичны законам поступательного движения. Только вместо массы в них фигурирует момент инерции, а угловая скорость заменяет поступательную скорость.
В каждом свободном теле, как доказал Эйлер, есть три оси, около которых вращение тела может происходить неопределенно долгое время. Они носят название главных. Особенно замечательна одна из них, относительно которой момент инерции имеет наибольшую величину: вращение около нее очень устойчиво.
Вращение же около двух других осей неустойчиво: при малейшем нарушении положения оси вращения тело начинает непрерывно менять ее, вращаясь около мгновенных осей.
Неустойчивость вращения около осей, не совпадающих с главной осью, можно наблюдать в следующем опыте.
Пусть металлическое кольцо вращается около вертикальной оси. Внутри кольца находится вытянутое тело, могущее поворачиваться около горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести. Тело участвует во вращении кольца.
Если вертикальная ось вращения не совпадает с главной осью тела, то оно начнет поворачиваться около горизонтальной оси. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока главная ось тела не совпадет с осью вращения.
Момент инерции однородного шара одинаков относительно всех его диаметров. Поэтому шар может вращаться неопределенно долго около любого из них.
Но сжатый эллипсоид, форму которого имеет, например, Земля, не обладает таким свойством. У него наибольшую величину имеет момент инерции относительно короткой оси. Поэтому вращение только около этой оси имеет устойчивый характер.
Разработанная Эйлером теория объяснила множество явлений, наблюдаемых при вращении тел. Она получила широкое применение в технике при расчетах машин, а в астрономии — при изучении фигуры планет.
Вращение твердых тел
Законами вращения, выведенными теоретически Эйлером, объясняются замечательные свойства вращающихся тел, например волчка и гироскопа. Эйлер и Лагранж изучили два рода волчков.
Волчок Эйлера представляет собой подобие колокольчика с утолщенным нижним краем. Точка опоры его находится внутри и совмещается с центром тяжести волчка.
Другой вид волчка изучен французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813).
Жозеф Луи Лагранж был сыном бедных родителей и с ранних лет должен был сам добывать средства к жизни. В возрасте девятнадцати лет он уже преподавал математику в артиллерийском училище. В 1764 году Лагранж получил большую известность, представив в Парижскую Академию наук исследование либрации Луны[17], удостоенное специальной премии. Через два года после этого он был приглашен Берлинской Академией наук занять место Эйлера, уехавшего в Россию.
В Берлине Лагранж прожил двадцать лет и издал много трудов по математике и механике. Там же он написал свою знаменитую «Аналитическую механику», но не нашел для нее издателя. Только по возвращении его в Париж эта замечательная работа была опубликована (в 1788 году).
Волчок Лагранжа отличался от изученного Эйлером тем, что у него центр тяжести лежал выше точки опоры. Приведенный в движение, волчок вращался бы равномерно (замедление вращения происходит вследствие трения в точке опоры и в окружающем воздухе). Его движение вполне аналогично равномерному поступательному движению по инерции.
Волчки, вращение которых исследовалось Эйлером (слева) и Лагранжем (справа).
Изучая вращение волчка, механики познакомились с замечательным проявлением инерции — сохранением направления оси вращения.
