Ноль: биография опасной идеи - [64]

Вселенная начинается с ноля и кончается нолем.

Приложение A Зверь, овощ или министр?

Пусть числа a и b оба будут равны 1. Поскольку они равны между собой,

b² = ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1).

Поскольку a равно самому себе, очевидно, что

a² = a² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2). Это дает

a² — b² = a² — ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3).

Мы можем преобразовать обе части уравнения:

a² — ab = a(a — b); a² — b² = (a + b)(a — b).

Тут нет ничего сомнительного. Эти выкладки совершенно верны. Подставьте в них числа и убедитесь сами. Подставив эти значения в уравнение (3), получаем:

(a + b)(a — b) = a(a — b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).

Пока все хорошо. Теперь разделим обе части равенства на (a — b) и получим

а + b = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5).

Вычтем из обоих частей a и получим

b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6).

Однако в самом начале этого рассуждения мы задали b = 1, и это значит, что

1= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7).

Это важный результат. Рассуждаем дальше. Нам известно, что Уинстон Черчилль имел одну голову. Но, согласно равенству (7), один равен нолю, значит, Черчилль головы не имел. У него не было набора лиственных побегов, значит, он имел один набор лиственных побегов. Далее умножим обе части равенства (7) на 2 и получим

2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8).

У Черчилля было две ноги, следовательно, он не имел ног. У Черчилля было две руки, следовательно, он не имел рук. Теперь умножим равенство (7) на размер талии Черчилля в дюймах. Значит,

размер талии Черчилля = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9).

Это значит, что Черчилль сужался до ноля. А теперь посмотрим, какого цвета был Уинстон Черчилль? Возьмем любой световой луч, отраженный от него, и выберем фотон. Умножим равенство (7) на длину волны и получим:

длина волны фотона Черчилля = 0 . . . . . . . . . . (10).

Однако умножив равенство (7) на 640 нанометров, мы видим, что

640 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(11).

Соединив равенства (10) и (11), мы получим, что длина волны фотона Черчилля = 640 нанометров.

Это означает, что данный фотон, как и любой другой, исходящий от мистера Черчилля, — оранжевый. Таким образом, Уинстон Черчилль имеет ярко-оранжевый цвет.

Суммируя полученные результаты, можно сказать, что мы математически доказали, что Уинстон Черчилль не имеет рук и ног, вместо головы у него пучок зелени, он сужается до точки и имеет оранжевый цвет. Ясно, что Уинстон Черчилль — морковка. (Есть и более простой способ доказать это. Добавление 1 к обеим частям уравнения (7) дает равенство 2 = 1. Уинстон Черчилль и морковка — разные вещи, поэтому они — одно и то же. Однако такое заключение менее удовлетворительно.)

Что не так в этом доказательстве? Только один шаг имеет порок — тот, благодаря которому мы переходим от уравнения (4) к уравнению (5). Мы делим на (a — b). Однако осторожно! Поскольку и a, и b равны 1, a — b = 1 — 1 = 0. Мы делили на ноль и в результате получили смешное равенство 1 = 0. Отсюда следует, что мы можем доказать любое утверждение, независимо от того, верно оно или ложно. Вся система математики развалилась.

Неосмотрительное использование ноля обладает властью уничтожить логику.

Приложение B Золотое сечение

Разделите отрезок прямой на две части, так, чтобы отношение меньшей части к большей было бы равно отношению большей части ко всему отрезку. Для простоты будем считать, что меньшая часть имеет в длину 1 фут, а большая — x футов. Очевидно, что длина всего отрезка в этом случае x + 1. Придав отношению алгебраический вид, получим, что отношение меньшей части к большей равно 1 / x, а отношение большей части ко всему отрезку — x / (1 + x).

Поскольку отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому отрезку, мы можем приравнять отношения друг другу, что дает уравнение:

x / (1 + x) = 1 / x.

Мы стремимся решить это уравнение в отношении x, что и есть золотое сечение. Первый шаг — умножить обе части уравнения на x, что дает

x² / (1 + x) = 1.

Умножив потом обе части на (1 + x), получаем

x² = 1 + x.

Вычтя 1 + x из обеих частей уравнения, получаем

x² — x — 1 = 0.

Теперь можно решить квадратное уравнение:

х = 1±√(1 + 4) / 2.

Мы имеем два решения, однако только первое из них, примерно равное 1,618, является положительным числом, только оно имело смысл для греков. Таким образом, золотое сечение приблизительно равно 1,618.

Приложение С Современное определение производной

В настоящее время понятие производной опирается на надежный логический базис, поскольку мы определяем ее в терминах пределов. Формальное определение производной от функции f(x) в точке x₀, обозначаемой как f '(x), таково:

f '(x) = lim f(x +ε) — f(x) /ε при ε → 0.

Чтобы увидеть, как это помогает избавиться от грязной уловки Ньютона, рассмотрим ту функцию, которая использовалась для демонстрации флюксий Ньютона: