Ноль: биография опасной идеи - [21]
Рис. 15. Алгорист против считающего на абаке
Числа наконец отделились от геометрии, они стали использоваться для большего, чем просто измерение объектов. В отличие от греков индийцы не видели квадратов в квадратных числах или площади треугольника, перемножая две величины. Вместо этого они видели взаимодействие чисел — чисел, лишенных их геометрического значения. Это было рождением того, что теперь мы знаем как алгебру. Хотя такой склад ума не позволил индийцам много внести в геометрию, он имел другое, неожиданное следствие. Он освободил индийцев от недостатков греческой системы мышления — и, в частности, отвержения ноля.
Поскольку числа лишились своего геометрического значения, математики могли больше не беспокоиться насчет того, что какие-то математические операции не имели геометрического смысла. Вы не можете скосить три акра травы с поля в два акра, но ничто не мешает вам вычесть три из двух. Сегодня мы знаем, что 2 — 3 = –1 (отрицательная величина). Впрочем, для древних это вовсе не было очевидно. Много раз, решая уравнения, они получали отрицательный результат и заключали, что их решение не имеет смысла. В конце концов, если вы мыслите в терминах геометрии, что такое отрицательная площадь? Для греков это была просто бессмыслица.
Для индийцев же отрицательные числа смысл имели. Действительно, именно в Индии (и в Китае) впервые появились отрицательные числа. Брахмагупта, индийский математик VII века, приводя правила деления, включал в рассмотрение и отрицательные числа. «Положительное число, деленное на положительное, или отрицательное, деленное на отрицательное, дают положительный результат, — писал он. — Положительное, деленное на отрицательное, есть отрицательное. Отрицательное, деленное на положительное, есть отрицательное». Это те же правила, которые мы признаем сегодня: при делении одного числа на другое результат положителен, если числа имеют одинаковый знак, и отрицателен, если разный.
Как 2 — 3 считалось числом, так и 2 — 2 было числом для индийцев. Это был ноль. Не просто символ-заместитель, обозначавший пустое место на абаке, а число. Ноль имел собственное значение и фиксированное место на числовой оси. Поскольку ноль был равен 2 — 2, то он должен был находиться между (2 — 1) и отрицательным числом (2 — 3). Ничто другое не имело смысла. Ноль больше не мог располагаться справа от девяти, как это имеет место на компьютерной клавиатуре; ноль занимал свое собственное место на числовой оси. Числовая ось больше не могла существовать без ноля, как не могла существовать система счисления без числа 2. Ноль наконец-то явился.
Впрочем, даже индийцы думали, что ноль — в силу всех обычных причин — весьма странное число. В конце концов, ноль, умноженный на что угодно, — это ноль; он все всасывает в себя. А уж когда вы делите на ноль, начинается полная фантасмагория. Брахмагупта пытался выяснить, что такое 0 / 0 и 1 / 0, но ему это не удалось. «Ноль, деленный на ноль, — ничто, — писал он. — Положительное или отрицательное число, деленное на ноль, есть дробь c нолем в знаменателе». Другими словами, он думал, что 0 / 0 есть 0 (он, как мы увидим, ошибался), а 1 / 0… ну, этого мы не знаем, потому что высказывание Брахмагупты смысла не имеет. В основном он махал руками и надеялся, что проблема сама собой исчезнет.
Ошибка Брахмагупты продержалась не так уж долго. Со временем индийцы поняли, что 1 / 0 бесконечно велико. «Эта дробь, у которой знаменатель — ноль, называется бесконечным количеством, — пишет Бхаскара, индийский математик XII века, говоря о том, что происходит, когда какое-то число прибавляется к 1 / 0. — Не происходит изменения, как бы много ни было прибавлено или убавлено, как ничего не меняется в бесконечном и неизменном Боге».
Бог был найден в бесконечности и в ноле.
Арабские цифры
Не забывает ли человек, что Мы создали его из пустоты?
Коран
К VII веку с падением Рима Запад пришел в упадок, но Восток процветал. Достижения Индии затмила другая восточная цивилизация. Когда звезда Запада стала закатываться за горизонт, начала восходить другая звезда — ислам. Ислам позаимствовал ноль в Индии, Запад со временем позаимствовал его у ислама. Восхождение ноля к славе должно было начаться на Востоке.
Однажды вечером в 610 году Мохаммед, тридцатилетний уроженец Мекки, впал в транс на горе Хира. Согласно легенде, ангел Джабраил повелел ему: «Повторяй!» Мохаммед так и сделал, и его божественное откровение зажгло пожар. Через десять лет после смерти Мохаммеда, в 632 году, его последователи захватили Египет, Сирию, Месопотамию и Персию. Иерусалим, священный город иудеев и христиан, пал. К 700 году ислам распространился от Инда на востоке до Алжира на западе. В 711 году мусульмане захватили Испанию и приблизились к границам Франции. На востоке они в 751 году разбили китайцев. Их империя простиралась дальше, чем мог даже вообразить Александр Македонский. По пути в Китай мусульмане завоевали Индию. Там арабы и узнали об индийских цифрах.
