Наука и жизнь, 2000 № 01 - [29]

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: ⁷√1 = 1⁵. Это очень легкий пример. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: — (5–3!) =√4–1.

Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log_√33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр начиная с 22.

Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки: производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование — действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса.

Навык находить равенства приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос и задал М. И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему несуществования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75–65».

Далее М. И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков (имя которого, к сожалению, не сообщается) отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи: √(N + 1) = secarctg√N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.

Для вывода этой формулы необходимо знать, что 1) tg arctg х = х; 2) 1/cos²х = tg²x + 1. Проделаем следующие тождественные преобразования: N + 1= (√N)² + 1 = tg²arctg√N + 1 = 1/cos²arctg√N = sec²arctg√N. Извлекая корень из N + 1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.

Заметим, что вот уже более двадцати лет как из школьной тригонометрии исключили секанс и косеканс. Нынешние школьники не знают, что sec х = 1/cos х, cosec х = 1/sin х, и обходятся без них. В игре Ландау нельзя, однако, обойтись без секанса, так как выражение его через косинус содержит 1 в числителе, что запрещено правилами игры.

Разумеется, полученная формула не может рассматриваться как практическое средство ведения игры, поскольку она наносит смертельный удар по игре как таковой. Строго говоря, нужно ввести в правила игры пункт, запрещающий применение универсальных формул. Но их поиск можно рассматривать в виде самостоятельной математической игры более высокого уровня сложности.

В заключение приведем еще несколько примеров «неподдающихся» номеров: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.

В наши дни номера машин для игры стали непригодными (и слава Богу — не будут отвлекать внимание водителя). Рассказывают, что академик Е. М. Лифшиц, друг и соавтор Ландау по знаменитому курсу теоретической физики, играл с ним, сидя за рулем, и нередко выигрывал.

Если под рукой нет случайных чисел, берите две последние пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Или придумайте другой источник номеров. Может быть, кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.

Доктор геологоминералогических наук Б. ГОРОБЕЦ.

ЛИЦОМ К ЛИЦУ С ПРИРОДОЙ

Зимние сверчки

Кандидат биологических наук Л. СЕМАГО (г. Воронеж).

В очерке «Концертанты» из Криничного лога» («Наука и жизнь» № 5, 1999 г.) рассказывал я о том, что весенними ночами в донских степях слышен бывает несмолкаемый и негромкий звон, но слышен тогда, когда обратишь на него внимание, прислушаешься к нему, а так — он ровный-ровный и воспринимается как сама тишина: ни ближе, ни дальше — везде. Это наполняют весеннюю степь своим стрекотанием полевые сверчки — племя деловитое, хозяйственное, хотя и довольно драчливое, особенно самцы.

Иное дело более нам знакомые домовые сверчки: тихие, робкие, хотя звенеть-стрекотать тоже умельцы немалые. Правда, полевые играют тутти — всем составом «оркестра», домовые же все больше солисты. Однако особинка их, о которой хочу рассказать, в другом.

… В оттепель, которая может случиться даже среди самой свирепой зимы, в лесу ли, в городе неведомо откуда появляются насекомые. Много или мало, свои или теплым ветром принесенные, но бывают. Это — не редкость. На стенах сидят мухи: червоедница и гренландская. Вечерами в стекла освещенных окон бьются бабочки-совки, днем в сыром воздухе медленно летают среди стволов нежнокрылые комарики, ползают по снегу бархатисто-бурые снежные черви — личинки жуков-чернотелок, копошатся, еле перебирая тонкими лапками, медяницы. Вылезают из-под корья мелкие клопы, еще какая-то мелюзга ходит и даже скачет. И пауки оживают. Но ударит без предупреждения отступивший было мороз — и снова никого. Только чернеют вмерзшие в лед бывших лужиц снежные черви, не успев уйти под снеговое одеяло.

А вот сверчков можно встретить на городских улицах и в жестокий мороз. Их негромкое пиликанье, едва различимое за скрипом шагов прохожих, пожалуй, не столько тихое, сколько робкое, будто сам сверчок убежден, что если кто и услышит его, то все равно не поверит, или, наоборот, побаивается, чтобы не услышал тот, кого опасаться следует. Но скорее всего, просто силенок не хватает ударить смычком по-летнему.