Наша математическая вселенная - [121]

раз, поскольку объём за это время увеличится в 10³⁸ раз. По той же причине в галактиках рождается в 2¹⁰³⁸ раз больше наблюдателей. Это означает, что если я — случайный наблюдатель среди всех существующих в данный момент, то мой шанс оказаться во Вселенной на секунду моложе, в которой Большой взрыв произошёл секундой позднее, в 2¹⁰³⁸ раз выше! Это единица со ста триллионами триллионов триллионов нулей. Моя планета должна быть моложе, моё тело должно быть моложе, и всё вокруг должно казаться образовавшимся в страшной спешке.

Часть пространства, испытавшая свой Большой взрыв в более близкое время, будет горячее, поскольку у неё было меньше времени. Обнаружить себя в относительно холодной Вселенной крайне маловероятно, и возникает проблема холодности. Когда я рассчитал вероятность того, что измеренная температура космического микроволнового фона окажется ниже 3° над абсолютным нулём, у меня получилось 10^–1056, так что результат измерения этой температуры спутником COBE, составляющий 2,725 кельвина, исключает нашу основанную на теории инфляции историю с надёжностью 99,999…999 %, где после десятичной запятой следует сто миллионов триллионов триллионов триллионов триллионов девяток. Это нехорошо. В зале позора, где выставлены расхождения между теорией и экспериментом, этот результат побивает даже проблему устойчивости атома водорода из гл. 7 (28 девяток) и проблему тёмной энергии из гл. 4 (123 девятки). Итак, встречайте проблему меры!

Проблема меры: кризис в физике

Что-то пошло не так. Но что именно? Действительно ли вечная инфляция исключена? Посмотрим. Мы задали резонный вопрос о том, каких результатов измерений должен ожидать типичный наблюдатель. В качестве примера мы взяли температуру космического микроволнового фона. Поскольку мы рассматриваем вечную инфляцию, мы проанализировали пространство-время, содержащее множество наблюдательных мгновений, в которые измерено много разных температур. Так что мы не можем предсказать один-единственный ответ, а можем лишь указать вероятность для определённого диапазона температур. Само по себе это не конец света: в гл. 7 мы видели, что квантовая механика не даёт определённых ответов, а предсказывает лишь вероятности — и при этом является проверяемой и успешной научной теорией. И всё же проблема в том, что вычисленные нами вероятности указывают на то, что результаты наших наблюдений совершенно неправдоподобны, и это заставляет отбросить теорию, на которой мы основываемся.

Может ли дело быть в ошибке в вычислениях вероятности? Математика здесь, в принципе, очень простая: вероятности — это доли от числа всех наблюдательных мгновений в референтном классе, в которые измерена температура. Если существует только пять таких наблюдательных мгновений, в которые зарегистрированы значения 1, 2, 5, 10 и 12° над абсолютным нулём, то доля измерений менее 3° составит два из пяти, 2/5 = 40 % — тривиально! Но что если, как предсказывает вечная инфляция, существует бесконечно много таких наблюдательных мгновений, и доля измерений с результатом менее 3° — это бесконечность, разделённая на бесконечность? Как придать этому смысл?

Математики разработали элегантную схему, называемую предельным переходом, которая во многих случаях позволяет придать смысл выражению ∞/∞. Например, какую долю всех натуральных чисел 1, 2, 3, … составляют чётные? Существует бесконечное количество чисел, и среди них бесконечно много чётных, так что их доля составляет ∞/∞. Но если мы сосчитаем только первые n чисел, то получим разумный ответ, слегка зависящий от числа n, на котором мы остановились в подсчётах. Если увеличивать n, мы обнаружим, что с ростом n доля чётных чисел всё меньше варьирует. Если теперь взять предел, в котором n стремится к бесконечности, мы получим корректно определённый ответ, который вообще не зависит от n: ровно половина всех чисел — чётные.

Это кажется разумным, однако бесконечность коварна, и доля чётных чисел зависит от порядка, в котором мы их считаем. Если мы упорядочим числа так: 1, 2, 4, 3, 6, 8, 5, 10, 12, 7, 14, 16 и т. д., согласно той же схеме с пределом получится, что 2/3 чисел являются чётными. Дело в том, что, двигаясь по этому списку чисел, мы встречаем два чётных числа на каждое нечётное. Мы не жульничали, поскольку все чётные и нечётные числа рано или поздно появятся в списке; мы просто их переупорядочили. Соответствующим образом переупорядочивая числа, я могу доказать, что доля чётных чисел равна единице, делённой на номер вашего телефона.

Аналогично доля наблюдателей (из бесконечного их множества в пространстве-времени), получающих конкретный результат измерения, зависит от порядка, в котором вы их считаете. Космологи пользуются термином мера для обозначения схемы упорядочивания наблюдательных мгновений или, в более общем случае, для метода подсчёта вероятностей, связанных с этими досадными бесконечностями. Те безумные вероятности, которые я насчитал для проблемы холодности, соответствуют конкретной мере, и большинство моих коллег догадывается, что проблема не в инфляции, а именно в мере: оказывается, неверно говорить о референтном классе всех наблюдательных мгновений в фиксированное время.