На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы - [10]

С математической точки зрения работать с дискретными переменными гораздо удобнее, чем с непрерывными. Идея

РИС. 5

РИС. 6

РИС. 7

Больцмана заключается в том, чтобы взять непрерывное пространство и представить его как дискретное. Возьмем, к примеру, ограниченную квадратом поверхность, как показано на рисунке 5.

В ограниченном пространстве число позиций, которые может занимать частица, бесконечно. Как в таком случае их учитывать? Достаточно нанести сетку и считать, что все точки, лежащие в одной клетке, занимают одно и то же положение (рисунок 6).

Можно пронумеровать состояния, как места в кинозале, и сосчитать их. Чем тщательнее процесс выборки, тем точнее будет приближение (рисунок 7).

Когда площади клеток стремятся к нулю (□—>0), мы возвращаемся в наше непрерывное пространство с бесконечным числом точек. Таким образом, при работе с непрерывными переменными стратегия состоит в том, чтобы выбрать диапазон вероятностей и установить математическую структуру для учета состояний и определения вероятностей. Затем сетка удаляется, и происходит переход дискретного вычисления в непрерывное.

Изучая проблему печи, Планк должен был распределить доступную энергию между осцилляторами стенок и внутренним излучением. Чтобы провести расчеты, он решил выразить энергию в дискретных фрагментах: ε = h • v, где h — константа, a v — частота излучения.

Определяя вероятность каждого положения и устремляя h к нулю, он восстанавливал непрерывное пространство и добивался желаемого результата. Однако еще до достижения последнего этапа, в то время как энергия оставалась дискретной, Планк уже пришел к правильной формуле излучения. Что случилось бы, если бы он захотел идти до конца? Тогда он получил бы результат, согласно которому энергия стремилась бы к бесконечности. На практике это означало бы, что при открывании печи из нее вырвалась бы смертельная вспышка ультрафиолетовых лучей,— так гласила классическая физика.

Но уменьшить h до бесконечности было невозможно. Кроме того, в соответствии с уравнением излучения и при сравнении теоретической и экспериментальной кривых постоянная в конечном итоге достигла определенного значения, которое не уменьшалось: 6,62 • 10^-34 Джс. Другими словами, осциллятор, вынужденный совершать колебательные движения вперед и назад, за 1 секунду приобретает энергию, равную 6,62 • 10^-34 Дж. Речь идет о совершенно незначительном количестве энергии: 1 Дж позволяет поднять небольшое яблоко весом около 100 г на высоту 1 м.

Вскоре Эйнштейн назвал каждый из этих фрагментов энергии квантом, а сам процесс фрагментации — квантованием. Так родились первые термины герметичного языка квантовой физики — термины, которые дали ей имя. Константу h назвали постоянной Планка, в честь создателя. Она играет роль датчика, показывающего, с какого масштаба учитывается прерывистость энергии. Дискретизация, возникающая при этом, чрезвычайно тонкая, наши органы чувств не отличают ее от непрерывности — и это объясняло, почему дискретная природа энергии до сих пор оставалась незамеченной, хотя и вовсе не уменьшало растерянности Планка. Когда мы встаем и начинаем бежать, то считаем, что наша кинетическая энергия начинает расти с нулевого значения непрерывно, а не рывками, пусть даже ничтожными и малозаметными. Подобная идея противоречит классическому духу.

Много лет спустя, в 1931 году, Планк вспоминал эту ситуацию словами: 

«...могу охарактеризовать всю процедуру как акт отчаяния, так как по своей природе я миролюбив и не склонен к сомнительным авантюрам. Однако я уже бился шесть лет (с 1894 года) над проблемой равновесия между излучением и веществом без каких бы то ни было успехов [...] требовалось найти любой ценой теоретическую интерпретацию, однако эта цена могла быть высокой». 

Квантование энергии так беспокоило Планка, что он пытался ограничить его и замкнуть в конкретном случае. Ученый предпочел сказать себе, что это был побочный эффект, связанный со специфическим механизмом взаимодействия осцилляторов. Можно провести параллель с ведром, которое используют для поднятия воды из колодца. Количество воды, извлеченной из колодца, кратно объему ведра, но перемещаемая жидкость (энергия) непрерывна и за пределами сосуда может быть представлена любой величиной.

Однако в это время статьи Планка внимательно читал один молодой профессор, который изо всех сил пытался свести концы с концами, давая частные уроки, и при этом уже воспринял идеи, перевернувшие физику. Альберт Эйнштейн обладал особым талантом обобщения, и печь предоставила ему все возможности, чтобы дать волю этому дару.

В 1905 году он, будучи на тот момент исключенным из академических кругов, опубликовал серию статей, которые не просто сделали его знаменитым, но вписали его имя в пантеон истории науки. В своем письме другу Конраду Хабихту он характеризует одну из этих статей как «весьма революционную». Быть может, он ссылается на наброски к специальной теории относительности или на приложение, в котором он решал уравнение Е = mc²? На самом деле ученый писал о статье, озаглавленной «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света», в которой рассматривал квантовую гипотезу Планка. Эйнштейн начал свое размышление, затрагивая трудности концептуального порядка: