Механизм Вселенной: как законы науки управляют миром и как мы об этом узнали [заметки]

Шрифт

Интервал

С другой стороны, падение с той же высоты не требует с вашей стороны вообще никакой работы. Эту работу выполняет Земля. Поэтому спускаться вниз по лестнице гораздо легче, чем подниматься.

Скептицизм Галилео относительно учения Аристотеля в физике был предопределен. Так как Аристотель в основном изучал логику, психологию, политологию и различные проблемы биологии (особенно классификацию растений и животных), мало какие из его работ в области физики оказались непреходящими ценностями, за исключением самого слова «физика», которое происходит от греческого phusika, что означает «природа».

Евклид — древнегреческий математик, расцвет его научной деятельности пришелся примерно на 300 год до н. э.

Вероятнее всего, Галилео пользовался итальянским переводом «Начал» Евклида, сделанным Никколо Тартальей (1499/1500–1557). Отличительная черта этого текста — правильное и полное описание теории отношений Евдокса Книдского (греческий математик, астроном и философ, 390–340 до н. э.), в отличие от других двух латинских текстов, существовавших во время Галилео. Теория пропорции Евдокса позволила Галилео развить новую науку о движении.

В данном случае размер каждого колебания становится меньше из-за трения о воздух и внутреннего трения, например между веревкой и точкой опоры. Идеальный маятник не потерял бы энергию из-за трения, и каждое колебание не отличалось бы от предыдущего.

Более вероятно, что Галилео заметил этот тип движения, помогая отцу в его экспериментах с использованием натяжения музыкальных струн в 1588–1589 годах. Позже он вспомнил, что раньше видел такие же движения — покачивания люстры собора, хотя и не задумывался о физических принципах качания. Именно это говорит его персонаж Сагредо в «Диалоге о двух системах мира»:

«Тысячу раз я обращал внимание на колебания, в особенности на колебания ламп в некоторых церквях, висящих на длинных шнурах, случайно приведенных кем-то в движение. Большая часть моих наблюдений приводила меня к мысли о неправдоподобии мнения многих, считающих, что движения этого типа поддерживает среда, то есть воздух. Мне казалось, что воздух должен отличаться совершенной рассудительностью, и ему должно быть нечем заняться, чтобы проводить часы, с определенной периодичностью толкая объект туда-сюда».

Рассматриваемые эксперименты включали бы следующее: груз подвешивают на струне, ее щиплют и отмечают издаваемые ей звуки. Очевидно, незначительные покачивания груза были бы следствием таких экспериментов.

Этот эксперимент достаточно просто провести дома. Если у вас не получится повторить результаты Галилео, наиболее вероятная ваша ошибка может быть в том, что вы перемещаете маятник слишком часто или слишком сильно, вы даете ему небольшой толчок, прежде чем снова позволите ему двигаться. Веревка не достаточно натянута во время колебания или слишком толстая, что вызывает внутреннее трение.

Не путайте массу и вес. Вес — просто мера силы тяжести, действующей на массу объекта. Таким образом, в то время как вес может измениться, масса объекта не изменится при обычных обстоятельствах. Например, ваш вес на Луне будет меньше, чем на Земле, так как сила тяготения на Земле, воздействующая на вашу массу, больше, чем на Луне. Однако ваша масса и на Луне, и на Земле одинакова.

Это следует из математики решения уравнения движения маятника. А именно связано с приближенным значением, которое можно получить, когда амплитуда — которую измеряют как угол отклонения по вертикали — мала. Приближение заключается в том, что синус угла считают как сам угол (когда измеряют его в радианах). Математически мы пишем: sin θ ~ θ, где θ — угол. Это приближение значительно упрощает решение проблемы.

До середины 1609 года Галилео уделял науке о движении особое внимание. Затем Галилео узнал о подзорной трубе (предшественнике телескопа), созданной голландским изобретателем в 1608 году, и построил свою собственную, улучшенную версию. Проблема движения вновь привлекла его внимание в 1633 году, когда он начал работать над «Диалогами о двух системах мира». В них он излагает результаты своих исследований сопротивления материалов и движения объектов. Галилео рассматривал «Диалоги» как лучшую из всех своих работ, наследие почти тридцати лет его исследований.

Первую известную конкурирующую теорию сформулировал математик и астроном Гиппарх (ок. 190–120 до н. э.) спустя примерно два века после Аристотеля. В 1553 году Джамбаттиста Бенедетти (1530–1590) стал первым, кто предложил доказательство того, что объекты, сделанные из одинакового материала и отличающиеся весом, будут падать с одинаковой скоростью в одинаковой среде (например, в воздухе).

В 1586 году Симон Стевин (1548–1620) показал, что два тела различного веса падают с одинаковой скоростью.

Период маятника — время, которое требуется маятнику, чтобы совершить колебание и вернуться к исходному положению (например, слева направо и справа налево). Когда мы говорим о времени падения маятника, мы имеем в виду время, которое требуется для того, чтобы переместиться в самую низкую точку колебания. Это позволяет нам проводить сравнения со временем свободно падающих объектов или объектов, двигающихся по наклонной плоскости.

Мы рассматриваем случай, когда амплитуда была мала, но это верно для всех амплитуд.

Поскольку объект катится по наклонной плоскости, его полное движение может быть разделено на вращательное движение центра масс и поступательное перемещение центра масс. Даже при том, что мы говорим об объекте, катящемся по наклонной плоскости, я скорее не рассматриваю вращательную часть движения, а сосредотачиваюсь только на изменении высоты объекта от начала движения и до конца, что является аспектом его поступательного перемещения.

Покойный Стиллмен Дрейк, канадский историк науки и эксперт по Галилео, предположил, что Галилео первоначально использовал другое средство для измерения времени движения объектов по наклонной плоскости. И отец, и брат Галилео были музыкантами, и Галилео также хорошо играл на лютне; возможно, Галилео использовал свои музыкальные способности. Он разместил тянущиеся ленты — или, в его случае, «струны» из кишок — вокруг наклонной плоскости, благодаря чему всякий раз, когда катящийся вниз объект касался их, возникал звук. Струны были расположены на одинаковом расстоянии друг от друга таким образом, что Галилео слушал, как катящийся объект касается их. Чтобы расположить струны таким образом, он использовал, вероятно, врожденное чувство ритма (может, топал ногой, когда слышал звук струны, или напевал ритм) и корректировал их позиции так, чтобы каждый лад соответствовал фиксированному временному интервалу. Теперь оставалось измерить расстояние от исходного положения шара до каждой струны, что Галилео мог определить очень точно. Учитывая, что тогда часы не могли измерить период времени точнее, чем секунда, этот метод, скорее всего, был более точным.

В обоих случаях общая форма математического уравнения, связывающего время и высоту, одинакова: h = 1/2 at^>2, где h — высота, на которую опустился (или скатился) объект от его изначальной точки, а — ускорение и t — время. Другими словами, высота здесь представлена как время, возведенное в квадрат. Это — закон падения Галилео, который он вывел, основываясь на своих экспериментах с наклонной плоскостью. В свободном падении ускорение происходит за счет силы тяжести, которая равна 9,8 м/с^>2, h = 4,9 м/с^>2× t^>2. Однако, если мы рассматриваем наклонную плоскость, ускорение происходит медленнее, чем при свободном падении. Кроме того, при движении по наклонной плоскости ускорение зависит от угла наклона плоскости по отношению к горизонтальной поверхности; для свободного падения угол наклона составляет 90°.

Поэтому нам нужны оба эти направления, чтобы полностью описать движение катящегося (падающего) объекта.

Интересно отметить, что в работе «В движении», которая отражает научную деятельность Галилео во время его профессорства в Пизе (1589–1592), Галилео думал, что скорость движения объекта на наклонной плоскости обратно пропорциональна длине наклона. Тот факт, что он не мог правильно рассчитать движение на наклонной плоскости (так как он не признал важности ускорения из-за силы тяжести), вероятно, был причиной, по которой Галилео никогда не издавал это труд. Однако к тому времени, когда он написал «Диалоги о двух главнейших системах мира», Галилео уже пришел к верным выводам: для постоянного ускорения скорость v падающего объекта пропорциональна времени t. Другими словами, v ~ t. Поэтому скорость падающего объекта увеличивается, когда высота уменьшается.

Подтолкнув его, мы изменим описанные результаты, так как добавим энергии в систему.

Трение — сопротивление, которое возникает между двумя объектами, находящимися в контакте друг с другом, и мешает их относительному движению. Например, когда вы быстро едете на своем автомобиле и резко поворачиваете за угол, вы не улетаете с дороги благодаря трению между дорогой и шинами вашего автомобиля. Однако если это все же произошло, то из-за недостаточной силы трения, которая не удержала автомобиль на дороге; в следующий раз поезжайте помедленнее.

Безусловно, под «философом» Галилео имел в виду физика.

Книгу Коперника издали непосредственно перед его смертью.

Другой пример — пружина, обладающая потенциальной энергией, когда она сжата и пытается «разжать» саму себя.

Сохранение энергии — фундаментальный и часто необходимый инструмент в решении многих физических проблем.

Интересно отметить, что вывод Ньютоном сохранения импульса из его третьего закона приводит к сильному принципу сохранения (согласно которому закон сохранения импульса никогда не нарушается), который выводится и из слабого (согласно которому, оказывается, силы не всегда «равны по модулю и противоположны по направлению»).

Сюда входили разрозненные наблюдения за маятником, приливами, а также формула для скорости звука в воздухе.

Иногда это называют «абсолютной упругостью».

Сегодня это может показаться странным — описывать тепло как тип частицы, но свет — другую невесомую текучую среду — также рассматривали как частицу, в особенности сам Ньютон.

Как генерал-майор и командующий полицией при дворе Герцога Баварии Румфорд был ответственен за защиту Мюнхена.

Основываясь на этом исследовании, Джоуль смог установить, что произведенное количество тепла было пропорционально количеству тока, умноженному на квадрат сопротивления. Это называют джоулевым нагревом.

Давайте проясним. Ранее мы узнали, что работу совершают, применяя силу, чтобы, например, сдвинуть объект на некое расстояние. В таком случае гравитация — сила, двигающая объект таким образом, чтобы он упал на землю.

Работу рассчитывают как расстояние, на которое падает тело под воздействием силы тяжести, тогда как тепло связано с изменением температуры определенного объема воды.

Во время своего медового месяца Джоуль предположительно попытался измерить увеличение температуры воды внизу водопада. Действительно, поскольку вода в основании из-за падения потеряла (гравитационную) потенциальную энергию, за счет сохранения энергии вода оказывается теплее.

Будьте благодарны, что природа установила такую высокую цену за механический эквивалент тепла. Если бы она была «слишком низкой», мы бы производили гигантское количество тепла во время таких повседневных действий, как ходьба, где тепло выделялось бы, например, во время трения между вами и поверхностью земли.

В дополнение к этому пункту Эйнштейн научил нас, что E = mc^>2, то есть объект обладает энергией просто потому, что у него есть масса, m. Это уравнение часто понимают неправильно. Целиком мы пишем E = mc^>2= m_>0c^>2+ E_>к, где m_>0— «масса покоя», c — скорость света, а E_>к— кинетическая энергия.

Даже сегодня все формы тепловых двигателей теряют значительную часть тепла.

У проверяющих из патентной комиссии есть научные степени в области техники, а у некоторых — даже степень кандидата наук.

Конечно, не все тепловые двигатели работают таким образом. Очень простой пример теплового двигателя — «пьющая птичка». Когда птица опускает свой клюв в стакан воды перед ней, она захватывает воду клювом и возвращается в вертикальное положение. С этого момента вода начинает испаряться с кончика ее клюва, охлаждая его — этот процесс известен как испаряющее охлаждение. В результате возникает разница температур: верхняя половина птицы становится более холодной (холодильник), чем нижняя (нагреватель). Из-за разницы температур жидкость внутри птицы поднимается вверх, пока птица снова не наклонится к стакану воды, чтобы вновь сделать «глоток», и процесс начинается заново. Кроме того, перепад температур также приводит к перепаду давления (пусть и незначительному) внутри птицы.

Жидкость (рабочее тело) в данном процессе играет важную роль. Она очень летучая, то есть при комнатной температуре значительная часть ее молекул находится в агрегатном состоянии пара, а некоторая часть — в жидком. В целом это относится ко всем жидкостям: некоторые их молекулы находятся в жидком состоянии, а другие — в газообразном, что приводит к росту давления пара жидкости. Однако у летучих жидкостей, в отличие от менее летучих, при равных температурах больше молекул находится в агрегатном состоянии пара. Это отражение притяжения молекул жидкости; чем оно сильнее, тем больше молекул остается в жидком состоянии и меньше — в состоянии пара, и наоборот. Это ключевой момент, потому что более летучая жидкость будет реагировать на разницу давлений гораздо сильнее, чем менее летучая, как и летучая жидкость внутри пьющей птицы, где больше молекул переходит из жидкого состояния в парообразное. Именно эти испарения, наряду с небольшим капиллярным эффектом, заставляют жидкость подниматься.

За исключением систем и процессов, находящихся в равновесии, большинство систем и процессов, которые встречаются в природе, являются необратимыми. Такие системы равновесия включают в себя те, что подвергаются фазовому переходу. Например, когда вода приближается к точке заморозки/таяния или когда она кипит/конденсируется, система находится в равновесии и поэтому является обратимой. Другие примеры — химические реакции, находящиеся в состоянии равновесия. Это означает, что протекающие прямо и обратные реакции происходят одновременно. Однако это не означает, что они происходят на одинаковом уровне; на самом деле, обычно нет. Это последнее соображение относится к химической кинетике реакции, а не ее термодинамике.

Попробуйте представить себе стакан, который упал с лавки и разбился на множество осколков. Весьма наивно полагать, что, тщательно склеив все части, мы сможем вернуть стакан в прежнее состояние. Конечно же, у нас ничего не получится; в лучшем случае мы просто немного приблизимся к тому, что было раньше.

Энергия для выполнения работы возникает из потенциальной энергии за счет разности высот.

Некоторая потеря потенциальной энергии с эффективностью работы происходит из-за нагревания, возникающего, когда вода ударяется о водяное колесо.

Другой пример — кондиционер.

Возможно, эту задачу можно было бы разрешить так. Двигатель 1 может выполнять только работу, необходимую для работы двигателя 2 в качестве теплового насоса, и ничего более. В итоге тепло поступает из нагревателя и затем возвращается в него. На самом деле мы можем просто исключить из схемы холодильник. Что может пойти не так? Ну, теперь у нас есть схема, где на одной и той же температуре Tн тепло перемещается между тепловым двигателем и тепловым насосом. Другими словами, мы создали механизм, в котором система, находясь в тепловом равновесии, все еще может передавать тепловой поток. Однако, как мы знаем, тепло не может перемещаться без перепада температур, и если система пребывает в тепловом равновесии, то тепло и вовсе не может перемещаться. Кроме того, такое устройство нарушило бы второе начало (позже мы разберем это подробнее); это был бы вечный двигатель второго рода. Таким образом, мы вынуждены отказаться от данного варианта.

Эту формулу легко выводят на примере такой системы: идеальный газ выступает в качестве рабочего тела и затем проходит процесс с четырьмя циклами: 1) изотермическое расширение (при постоянной температуре) при температуре нагревателя; 2) адиабатное (без потери или поглощения тепла) расширение, приводящее к охлаждению до температуры холодильника; 3) изотермическое сжатие при температуре холодильника; и 4) адиабатное сжатие, которое приводит к нагреванию газа обратно до температуры нагревателя, таким образом возвращая газ к его исходному состоянию, когда он готов снова начать цикл. Вспомните, что конструкция обратимого теплового двигателя Карно может быть разной, поэтому использование идеального газа в качестве рабочего тела необходимо для математического удобства и не влияет на итоговую формулу.

Эффективность определяется как величина работы, разделенная на количество вводимой теплоты от горячего нагревателя (источника).

Тот факт, что первое начало требует сохранения энергии, и невозможность работы ни одного теплового двигателя со 100 %-ной эффективностью связаны с тем, что при работе теплового двигателя требуется передача тепла из холодного резервуара в горячий.

Обратите внимание, что если T_>х= T_>н, то производительность равна нулю. Это означает, что тепловой двигатель не работает без разницы температур, о чем и говорит второе начало, сформулированное Томсоном.

Подумайте об этом, когда в следующий раз будете сидеть за рулем автомобиля: он работает гораздо лучше, если снаружи холодно.

Хотя не до конца ясно, почему мемуары Карно не оказали большего влияния на свою целевую аудиторию — физиков и инженеров; вероятно, так случилось из-за стиля, в котором они были написаны. Карно написал свои мемуары в популяризированном стиле, редко используя математические уравнения, скромно вставляя их в сноски. Однако для инженеров работа была все еще слишком теоретической; с другой стороны, ученые, которые были привычны к теоретическому подходу, не восприняли работу всерьез, поскольку ей не хватало математических данных. В результате Карно потерял аудиторию в лице и тех, и других. Карно не сделал ничего, чтобы помочь продажам «Размышлений». Он посвятил все свое время научным исследованиям и никогда не издавался вновь.

Очевидно, Томсон безуспешно искал в парижских книжных магазинах копию оригинальной работы Карно.

Объединение по каким-либо признакам тех или иных природных явлений всегда было важнейшей темой в науке. Физика долгое время пыталась объединить четыре фундаментальных вида взаимодействия силы: электромагнетизм, сильное ядерное взаимодействие, слабое ядерное взаимодействие, а также силу гравитации. Объединение электрических и магнитных сил привело к появлению понятия электромагнетизма, а последующее объединение электромагнетизма со слабым взаимодействием — к электрослабому воздействию.

Теория, подобная теории Фурье, в которой учитывается поведение рассматриваемого объекта (тепла), но при этом остаются вопросы о причинах этого поведения, известна как феноменологическая теория.

Мы уже знакомы с этим подходом — мы встречали его, когда исследовали обратимый тепловой двигатель Карно. Вспомните, что Карно устранил основные детали из своей модели теплового двигателя, такие как рабочее тело, механическую конструкцию и материалы, используемые в строительстве. Подход такого типа часто используется в физике.

Использование Томсоном слова «энергия» было первым шагом к пониманию его значения в сегодняшнем смысле. Это было важным событием, потому что у понятия энергии была долгая история, в которой ее часто использовали крайне двусмысленно (и неправильно), часто наравне со словом «сила».

Большую часть работы Клазиус написал до 1870 года, в котором произошли два, вероятно, главных события в его жизни. В 1870 году, во время Франко-прусской войны, когда он служил в корпусе медиков, его сильно ранили в колено, и всю жизнь он страдал от боли из-за этой травмы. Кроме того, его жена трагически умерла при родах, и он принял на себя ответственность за воспитание шести маленьких детей. Позже, когда ему уже было около шестидесяти, он женился снова.

Как мы узнали из первой части, природа материи затрудняла понимание энергии, в частности тепла. Когда Томсон написал «Динамическую теорию тепла» в 1850 году, многие исследователи, такие как Джоуль, Майер, Гельмгольц и Клаузиус, начинали принимать тот факт, что материя состоит из меньших частиц (которые мы сегодня называем атомами), но никто из них не был готов свести это воедино, подкрепив теоретическими формулировками.

Для полноты картины предположите, что воздух не может покинуть здание или войти в него; как видите, я хорошо все продумал.

Здесь мы говорили о работе с точки зрения теплового двигателя, который преобразовывает тепло в работу. Обратите внимание, что здесь мы все еще применяем наше оригинальное определение работы. В тепловом двигателе рабочее тело поглощает тепло, которое заставляет его расширяться. В результате этого рабочее тело воздействует на объект, таким образом заставляя его отодвинуться на определенное расстояние; рабочее тело действует на объект с силой, чтобы переместить его.

Важно понять, что мы не должны знать точный принцип, по которому происходит нагревание или работа, чтобы определить энергетическое изменение системы. Мы просто должны определить количество тепла или работы, которые приобретает или теряет система. Детали того, что продолжает происходить в границах системы не важны, пока мы не определим это количество.

Если бы вы, например, должны были размешать воду, для этого вы бы производили работу. Процесс помешивания изменит энергию, добавляя в воду кинетическую энергию.

Внутренняя энергия (как считается сегодня) относится к кинетической и потенциальной энергии молекул, составляющих интересующую нас систему. Среднее значение их количеств и есть то, что мы называем внутренней энергией системы. Чтобы лучше понять, почему мы берем именно среднее значение, давайте еще раз рассмотрим наш стакан воды как систему. Стакан воды состоит из множества отдельных молекул воды, которые движутся при комнатной температуре. Мы не увидим этого невооруженным глазом, но можем проверить при помощи эксперимента. Поскольку молекулы перемещаются в стакане воды, их потенциальная энергия и кинетическая энергия изменятся, а общая энергия — нет, если система, как упоминалось, является закрытой. Но так как потенциальная и кинетическая энергии молекул со временем постоянно изменяются за счет их движения, то для определения внутренней энергии важно именно среднее значение (за некоторое время).

Во вступлении к работе Томсон делит энергию на два вида, один из которых он называет «статическим», а другой — «динамическим». Согласно Томсону, статическая энергия лучше подходит для произведения работы, в то время как динамическая энергия подходит для этого хуже, что, впрочем, не мешает производить работу и с ее помощью.

Можно произвести работу благодаря океану, например, катаясь на доске для серфинга.

Другой пример — энергия, заключенная в молекулах, из которых состоит воздух. Существует множество других подобных видов энергии, но случайное движение молекул веществ исключает возможность использовать эту энергию для произведения работы.

Только лишь добавление энергии в форме работы не сможет повернуть вспять необратимые процессы; в этом случае они действительно необратимы.

Другими словами, объекты скорее будут охлаждаться, чем нагреваться. Тепло будет покидать вашу чашку кофе, растворяясь в окружающей среде. Обратные процессы не являются естественными (тепло не будет переходить из окружающей среды в ваш кофе, тем самым нагревая его).

Вспомните объяснение из части 1, что физические свойства системы описывают ее уникальные особенности.

В 1851 году Томсон, скорее всего, знал о подобных свойствах тепла. Он сосредоточился на исследовании процесса проводимости, что послужило основой для работы, описывающей рассеивающуюся природу тепла (1852 год).

Клаузиус утверждал, что любой процесс в двигателе Карно будет взаимозаменяемым, как только мы сделаем его «обратимым». Например, процесс, при котором тепло поступает из горячего резервуара в холодный (предпочтительное направление), можно заменить процессом преобразования тепла в работу (неблагоприятное направление), как только двигатель начинает превращать работу в тепло (предпочтительное направление). Может казаться странным, но Клаузиус пытался установить общую связь между «предпочтительным» и «неблагоприятным» течениями процессов. Это позволило ему вывести математическую теорию и даже обосновать, что у этих двух как будто бы разных процессов общее физическое происхождение.

Теперь мы понимаем, что механический (рабочий) эквивалент тепла — это количество тепла, которое получается при выполнении данного объема работы. Действительно, это легко вычислить, просто используя уравнение преобразования объема работы в соответствующее количество тепла. По Клаузиусу, значение эквивалентности для количества работы, которую некто получает из определенного количества тепла, можно представить как «тепловой эквивалент работы».

Не забывайте, что тепловой двигатель Карно — математическая модель, и что под «пробегом» я подразумеваю только лишь расчеты.

Установление физической величины, связанной с состоянием (или функции состояния), как имеющей результирующее изменение, равное нулю, за полный «проход» по циклу, является превосходным примером использования математики для ясного определения важных физических величин.

Некоторые другие функции состояния — плотность, давление и температура.

В самом деле, было бы странно, если бы мы могли заполнять стакан наполовину, только наливая в него одинаковое количество воды, но не имея возможности вылить лишнюю. Тем не менее не все функции системы — функции состояния, что означает, что они действительно зависят от способа, которым система достигает своего состояния.

Уильям Томсон (позже лорд Кельвин) ввел абсолютную температурную шкалу, где добавляется 273,15 к значению температуры в градусах Цельсия. В этой шкале ноль определяется как абсолютно самая низкая достижимая температура.

Это важно, поэтому я надеюсь, что вы читаете эту сноску. Вы получите положительное значение, если будете рассматривать поглощенное окружающей средой тепло (как из горячего резервуара или источника) как отрицательную величину и тепло, которое выделяется, как положительную. В научной литературе по этому поводу нет никаких договоренностей. На самом деле сам Клаузиус менял свой подход к рассмотрению этой проблемы: представил тот, что я использую, в 1854 году и применял его, чтобы написать свое знаменитое неравенство Клаузиуса в 1862 году, только чтобы переключиться на противоположный подход в трудах 1865 года — по крайней мере, он отметил это переключение в более поздних мемуарах.

Кроме того, будет действительно холодно. Температура — мера средней проводимости кинетической энергии, которой обладает единственная молекула в данной системе. Первое начало говорит нам, что сумма энергии во Вселенной постоянна, и поэтому если я распределю эту сумму по всем атомам и молекулам во Вселенной (по моей системе в этом случае), у отдельного атома или молекулы не будет большого количества кинетической энергии, так как существует великое множество атомов и молекул, которые составляют нашу Вселенную, так что среднее число будет довольно низким (почти нулем), как и температура.

В 1860-е годы наука о молекулах только зарождалась, и Клаузиус не хотел показаться спекулянтом и подвергнуть опасности свою теорию энтропии. Таким образом, Клаузиус оставил этот подход и отказался от молекулярной интерпретации энтропии.

На самом деле мы понимаем работы Клазиуса благодаря объяснениям таких ученых, как Джеймс Клерк Максвелл и другие.

Клаузиус был непоследователен в убеждениях относительно поглощаемого (из горячего резервуара) и испускаемого (из холодного резервуара) тепла в процессе. В 1854 году Клаузиус считал поглощенное тепло отрицательным и излучаемое — положительным, но в 1865 году, создавая второе начало, изменил свою точку зрения на обратную. Эта путаница сегодня все еще встречается в учебниках и в заметках, посвященных энтропии. Так что вам нужно четко представлять авторские убеждения.

В целом свободная энергия — удобный способ описать энтропию Вселенной в терминах энтропии и внутренней энергии (кинетической и потенциальной) системы. Точная форма свободной энергии будет меняться в зависимости от того, какие макроскопические величины мы считаем постоянными, например температуру или давление.

Герон Александрийский (ок. 10–70 н. э.) утверждал, что сжимаемость воздуха — следствие того, что он состоит из крошечных частиц.

Полезные модели правильно описывают известную экспериментальную информацию и в качестве бонуса позволяют прогнозировать те или иные физические процессы; они обладают описательными и предсказательными качествами.

Температура около 21 °C (около 70 °F) и давление, равное одной атмосфере.

Я рассматриваю популярный размер воздушного шара диаметром 25 см.

Примеры атомов, перемещающихся быстрее при увеличении температуры, можно найти в шине вашего автомобиля. Когда вы ведете автомобиль, трение между его шинами и дорогой производит тепло, заставляя температуру воздуха в шине увеличиваться. Это увеличение вызывает ускорение движения молекул воздуха (воздух — смесь молекул — главным образом азота и кислорода, которые составляют приблизительно 99 % воздуха), за счет чего они чаще сталкиваются друг с другом и со стеной шины (сосуд, в который они заключены). Это увеличение количества столкновений приводит к увеличению давления воздуха в шине. Это достаточно легко установить: просто измерьте давление воздуха перед поездкой и после нее. Именно поэтому вы замечаете медленную утечку воздуха не сразу после поездки, а когда вы поедете в следующий раз, например, на работу утром после того, как машина стояла всю ночь.

Безусловно, Клаузиус не верил этому, но он действительно утверждал, что для вычисления — даже при том, что имеет место распределение скоростей атомов газа — можно было просто использовать среднюю скорость. Это привело Клаузисуса к не совсем точному расчету давления газа, на что позднее указал Максвелл при определении математической формы распределения скоростей.

Есть три уникальных направления, доступных атому газа, — x, y и z (по системе координат Декарта). Они описывают направления «вниз или вверх», «влево или вправо» и «вперед или назад».

Тем не менее это не означает, что она увеличивается до «абсолюта» при каждом воздействии, что каждый шаг по этому пути приводит к росту энтропии. Скорее это происходит только в статистическом смысле. Таким образом, некоторые действия ведут к увеличению, а другие — к уменьшению энтропии. Когда система из начального неравновесного состояния наконец придет в состояние равновесия, уровень энтропии в целом изменится. Второе начало гарантирует это.

В случае системы с постоянной (одинаковой) энергией все становится несколько проще. У системы все еще есть набор микросостояний, но все они будут одинаковыми с точки зрения энергии. Распределение Больцмана будет не по диапазону энергий, а по одному значению энергии. Таким образом, вероятность данного микросостояния будет одной из множества составляющих систему. Другими словами, вероятность возникновения всех микросостояний будет одинаковой.

Однако эти вещи можно увидеть с помощью компьютерного моделирования. Здесь мы можем видеть движение атомов, их траектории и все возникающие микросостояния. Перемещая атомы в соответствии с уравнениями движения Ньютона и следуя постулатам статистической механики, мы можем вычислить многообразие свойств многих систем и качественно соотнести их с экспериментальными результатами.

Я потрачу время на объяснение того, что такое «микросостояние» и «макросостояние», чтобы не было путаницы. Многие авторы просто говорят «состояние», и вам приходится самостоятельно разбираться, о каком из них идет речь, а иногда термин и вовсе используют неправильно.

Точнее, макросостояние системы описывается переменными системы, которая не изменяется даже при том, что атомы системы перемещаются, — то есть у системы изменяются микросостояния. В моем примере температура и объем (форма) воздушного шара, как вы видите, являются переменными макросостояния воздушного шара. Однако количество атомов в воздушном шаре будет другой переменной макросостояния. Очевидно, даже при том, что вы не видите атомы, их число в воздушном шаре не изменяется, если нет утечек.

Количество молекул воздуха в воздушном шаре также является величиной, связанной с макросостоянием. Это может показаться странным, так как вы не видите молекулы. Тем не менее вы знаете, что общее количество молекул в воздушном шаре не изменяется, конечно, при отсутствии утечек.

Это очень важно, так что если вы ничего не запомните о микросостояниях и макросостоянии, по крайней мере, запомните связь между микросостояниями с энтропией: чем больше микросостояний у системы, тем выше ее энтропия.

Во время визита Больцмана в Беркли распитие и покупка пива и вина, к неудовольствию Больцмана, были запрещены. Тем не менее Больцман скоро узнал о магазине в Окленде, Калифорния, где продавали вино, и, по-видимому, стал его частым гостем.

Постоянную Больцмана используют, чтобы преобразовать температуру (в Кельвинах) в единицы измерения энергии. Больцман никогда не вводил эту постоянную, а записывал это выражение в виде пропорции. Эта постоянная была введена позже Планком.

100

Не все необратимые процессы являются спонтанными, но все спонтанные процессы необратимы. Большинство процессов по своей природе необратимо. Единственные обратимые по своей природе процессы — те, которые проходят в системах, находящихся в состоянии равновесия.

101

Греческий эпический поэт, известный прежде всего поэмами «Илиада» и «Одиссея». Годы жизни Гомера все еще остаются предметом спора. Геродот считал, что Гомер жил за 400 лет до него, то есть примерно в 850 году до н. э. Однако другие историки тех времен датируют его жизнь приблизительно 1194–1184 годами до н. э., то есть тем временем, когда шла Троянская война — так ее датируют те, кто полагает, что это реальное историческое событие, а не просто часть мифа.

102

Греческий философ, известный прежде всего тем, что математическим методом вывел, что квадрат длин сторон прямоугольного треугольника равен квадрату самой длинной стороны (гипотенузы). Это равенство также известно как теорема Пифагора.

103

Греческий философ, поэт, социальный и религиозный критик.

104

Гераклит также считал, что для достижения гармонии необходимо соединить противоположности. Этот процесс часто напоминает борьбу или даже войну. Эта дуалистическая философия Гераклита напоминает инь и ян в китайской философии. Действительно, его работы, как и работы китайского классика Тао Те Чин, который обсуждал понятия инь и ян (предположительно введены Лао-цзы («Старым мастером»)), были написаны приблизительно в одно и то же время. К сожалению, мы никогда не узнаем, была ли связь между этими работами.

105

Гераклит говорил: «Вы нем можете дважды вступить в одну и ту же реку; вы всегда окажетесь в новой быстротекущей воде».

106

Часть молекул воды может уйти при испарении.

107

Гераклит полагал, что в человеческой душе также присутствует вечный огонь. Это напоминает индуизм, где у универсальной души, известной как Брахман, есть зеркальная копия во всех людях, известная как мировая душа (Атман).

108

На латинском языке это слово означает «сокращение до абсурда». Это крайне эффективный метод, который применяется в математике и философии. Подход действует следующим образом: сначала заявите начальное суждение, покажите, что установленное суждение приводит к противоречию, и таким образом начальное суждение считается неверным в результате противоречия.

109

На теорию идей Платона, также известную как теория форм, конечно, повлиял и Сократ.

110

Теория Анаксимена о воздухе как главном элементе и основе всякой материи довольно интересна. Объясняя физические механизмы, знакомые нам сегодня, например конденсацию (сжатие воздуха для повышения плотности) и разрежение (расширение воздуха для уменьшения его плотности), он также объяснял и то, как возникают другие «элементы». Проще говоря, он заявил, что, когда воздух сжимается, появляется вода, которая при дальнейшем сжатии становится землей. Однако, когда воздух становится более разреженным (менее плотным), он превращается в огонь. Таким образом, он описывает эти четыре элемента и рационализирует их преобразования.

111

В «Опровержении всех ересей» Ипполит рассматривает убеждения Анаксагора, касающиеся Земли, Солнца и Луны:

«Солнце, Луна и все звезды — раскаленные камни, охваченные круговращением эфира. Ниже звезд есть некие тела, которые вращаются вместе с Солнцем и Луной, невидимые для нас. Тепло звезд мы не ощущаем, так как они на большом расстоянии от Земли, и к тому же не так горячи, как Солнце, поскольку занимают область похолодней. Луна ниже Солнца и ближе к нам. Солнце по величине превосходит Пелопоннес. Свет у Луны не свой, но от Солнца. Круговращение звезд происходит под Землей. Затмения Луны бывают оттого, что ее заслоняет Земля, а иной раз и тела [которые обращаются] ниже Луны; затмения Солнца — когда его заслоняет Луна, по новолуниям. Повороты Солнца и Луны происходят оттого, что их отбрасывает назад воздух. Луна поворачивает часто, так как не может одолеть холодное начало [= воздух]. Он впервые точно определил условия затмений и лунных фаз. Он сказал, что Луна землеобразна и что на ней есть равнины и ущелья. Млечный путь — отражение света звезд, не освещаемых Солнцем…»

112

Согласно Аристотелю, Анаксагор чувствовал, что Эмпедокл несправедливо определяет некоторые вещества как первичные, а другие — как вторичные. Более того, у Анаксагора, вероятно, была еще одна проблема с теорией Эмпедокла. Согласно Эмпедоклу, все в природе можно разделить на четыре основополагающих элемента. Таким образом, что-то, например апельсин, распадается на воздух, землю, огонь и воду. Буквально это означает, что то, что мы когда-то называли апельсином, сейчас исчезло, и все, что остается, — это те самые четыре элемента. Проблема в том, что, кажется, апельсин исчез; или, вернее, его больше не существует. Иными словами, «что-то» стало «ничем», что противоречило теории Парменида о невозможности такого сценария. Поэтому Анаксагор, возможно, пытался сохранить эту часть теории Парменида, когда объявил о существовании «части всего во всем». Однако для Эмпедокла объединение и разделение четырех элементов силами Любви и Борьбы соответственно было реальностью, в то время как «апельсин» был иллюзией или искусственным примером в человеческой интерпретации. Таким образом, ничто не исчезает из природы, так как четыре элемента, составляющие апельсин, остаются, даже когда сам он перестает существовать; его составляющие элементы просто переходят от состояния соединения к состоянию разделения в полном соответствии с теорией Эмпедокла.

113

Уцелевший фрагмент работы Анаксагора доказывает, что Анаксагор отличался беспрецедентным пониманием математического концепта бесконечности.

114

Демокрит полагал, что человеческая душа состоит из специальных атомов правильной круглой формы, что позволяет им проникать в наше тело для поддержания его функций.

115

Не совсем ясно, как Демокрит понял, что атомы изменяют направление движения, но, по-видимому, это вытекало из предполагаемого давления.

116

Теории Демокрита угрожал и Платон, но не в той же мере, что Аристотель.

117

Мы знаем большую часть атомной теории Демокрита благодаря критике Аристотеля, особенно в трудах «О поколении» и «Коррупция», а также «О небе».

118

Это означало, что он управлял страной в отсутствие его отца (Филиппа II). Действительно, Александр подавил восстание в области Фракии и основал город Александрополь.

119

Как, по-видимому, разочарованно отметил Галилео, изучавший работы Аристотеля во время обучения в Пизанском университете.

120

Это также была попытка улучшить то, что он рассматривал как слабые места в «Теории идей» (форм) Платона.

121

Когда кто-то делает вывод на основе предполагаемой цели — это целенаправленное объяснение. Напротив, кто-то делает вывод, основываясь на возможных причинах, он осуществляет «механическое объяснение». Исторически выяснилось, что последний позволяет делать верные научные выводы. Аристотель использовал целенаправленные объяснения, тогда как Демокрит — механические.

122

Для Аристотеля Бог — чистая форма, существующая вне материи и действительности, и поэтому он не изменяется, так как он — совершенство. На самом деле все вещи стремятся уподобиться Богу — это их цель. Это означает, что Бог — целевая причина для всякого движения и изменения. Богословие Аристотеля таково, что материальные вещи «развиваются» в сторону подобия совершенству Бога.

123

Чтобы переводить работы с арабского языка на латынь (а некоторые непосредственно с греческого языка на латынь), христиане открывали центры перевода. Это было поистине удивительное достижение: мусульмане, евреи и христиане работали вместе ради этой общей цели и мирно сосуществовали.

124

Мы должны помнить, что атомная теория Демокрита попыталась ответить на фундаментальный вопрос об изменении постоянства — для древних греков в то время это было важно. Если бы вопрос был поставлен проще: «Каковы фундаментальные составляющие материи?» — тогда, возможно, его атомная теория завоевала бы большую популярность. Кроме того, в Средневековье Аристотеля считали экспертом по большинству вопросов, что усилило резкую критику трудов Демокрита. Наконец, как и у всех философов до Сократа, работы Демокрита уцелели только в виде фрагментов и слухов из порой ненадежных источников.

125

Период европейской истории с V (после падения Римской империи в 476 году) по XV век.

126

По большей части атомная теория Эпикура следует теории Демокрита — с одной значимой особенностью. По словам Эпикура, атомы в пустоте двигаются по нисходящей траектории параллельно друг другу. Однако некоторые атомы спонтанно «отклоняются» в сторону. Эпикур считал, что возникающие столкновения позволяют атомам объединяться и формировать материальные объекты, которые мы можем наблюдать. Также это правило отвечает и за другие природные явления.

У Демокрита последующие столкновения атомов возникают в результате предшествующих. Таким образом, движение атомов — и вещей в целом — Демокрит рассматривал как детерминированные. Эпикур не мог поверить в полностью детерминированное представление о мире, которое отрицает какую-либо свободу, и поэтому добавил «отклонение» в его атомную теорию, чтобы придать ей долю хаотичности ради концепта свободы воли.

127

Период итальянской истории с конца XIII века до 1600-х годов.

128

Браччолини был гуманистом раннего Итальянского Возрождения.

129

Геродот был древнегреческим историком (484–425 до н. э.).

130

Николай Коперник был астрономом эпохи Возрождения. Он первым предположил, что Солнце является центром Вселенной, что противоречило идеям его времени. Он подробно описал свою работу в труде «О вращении небесных сфер», который, опасаясь преследований со стороны церкви, он издал только перед смертью в 1543 году.

131

В 1634 году, когда Декарт был наконец готов опубликовать «Мир», он узнал, что инквизиция в Риме осудила Галилео за его учения в «Диалоге о двух главнейших системах мира». Теперь, понимания, что «Мир» содержал материал, который также будет признан церковью сомнительным, он боялся повторить судьбу Галилео и в 1634 году написал другу, что он не будет публиковаться. В 1662 году последнюю главу «Мира» издали отдельно под названием «О человеке», остальное было опубликовано в 1664 году; а весь труд — в 1677 году.

132

Сегодня мы говорим, что импульс (количество движения) и угловой момент (момент импульса) сохраняются независимо друг от друга. Мы говорили об импульсе в части 1. Вспомните, что это масса объекта, умноженная на его скорость. (Скорость объекта включает и быстроту перемещения, и направление движения; это вектор.) Превосходный пример сохранения импульса — игра в бильярд. После удара, когда бильярдный шар сталкивается с остальными шарами, он передает им свой импульс и, следовательно, сам теряет импульс; то есть в целом импульс сохраняется. Угловой момент также сохраняется. Вы можете думать об угловом моменте как о вращательном аналоге импульса. То, как вы удерживаете чашку кофе в руке, медленно вращаясь в определенном направлении, — отличный пример сохранения углового момента. Если вы вращаетесь влево, кофе в чашке будет вращаться вправо, и наоборот. Система, которая состоит из вас и чашки кофе, сохраняет угловой момент таким образом, чтобы его общая сумма равнялась нулю — значению до начала движения. Это и есть сохранение: начальное и конечное значения равны друг другу (то есть нулю).

133

Декарт действительно настаивал, что мир очень похож на механизм, похожа даже работа тела человека и животных в целом. Однако в своей теории он четко делал исключение для человеческой души. Согласно Декарту, если действие требовало любого умственного усилия, оно требовало и вовлечения души. Более того, душа и сложный механизм человеческого тела были связаны согласно Божьей воле. Интересно отметить некоторые из вещей, по мнению Декарта, не требовавших умственного усилия, — вещей, которым мы часто приписываем психологический компонент, — восприятие, память, чувства вроде страха или действия вроде ходьбы.

134

Ньютон учитывает теорию Галилео, но игнорирует идеи Декарта, который в «Первоначалах философии» (1644) гласит (как и Ньютонов первый закон движения): «Каждая вещь будет оставаться в прежнем состоянии, пока может; и, следовательно, начав двигаться, она всегда будет продолжать перемещаться».

135

Хороший пример с небольшой силой трения — движение объекта по льду. Любой, кто ездил по покрытой льдом дороге зимой, подтвердит, что из-за незначительного трения автомобиль может начать скользить.

136

Мы называем весом силу тяжести Земли, «тянущую» книгу вниз. Поэтому, согласно третьему закону Ньютона, этому «притяжению» книги со стороны Земли противодействует «притяжение» самой Земли со стороны книги. Эти силы равны, но противоположно направлены.

137

Пять томов, которые появились в 1799–1805 годах и были исправлены в 1823–1825 годах.

138

Арабы переводили работы Болоса Демокритоса, как и работы Аристотеля, что оказало большое влияние на арабскую алхимию.

139

По легенде, египетская алхимия началась с истории «Изумрудной скрижали», написанной египетским богом математики и науки, Тотом (греки считают, что это был Гермес. Это породило синтетическое именование божества Гермес-Тот, или Трижды Великий Гермес, также известный как Гермес Трисмегист). «Изумрудная скрижаль» — несомненно, один из самых древних и проверенных временем из всех алхимических документов. Греческие и исламские переводчики имели обыкновение благодарить кого-то (обычно более раннего автора), кроме автора первоисточника, за проделанную алхимическую работу. Действительно, самая ранняя дошедшая до нас версия «Изумрудной скрижали» появляется в арабском тексте начала XI века за авторством Аполлиния Тианского, мага, жившего в I веке (н. э.). Изумрудная скрижаль написана в форме шифра, как и множество алхимических писем, и у нее было несколько интерпретаторов, включая Ньютона. Алхимики Средневековья и Ренессанса заимствовали из «Изумрудной скрижали» систему взглядов, иногда касающихся макромира и микромира, или же герметизм.

140

Александрию основал Александр Великий в 331/332 году до н. э.

141

Поскольку в колледже я специализировался на химии, то должен был посещать несколько лабораторных классов. На каждом из них я вел тетрадь с наблюдениями за поставленными экспериментами. Основное правило ведения лабораторного журнала запрещало вырывать любую страницу, даже если на ней была ошибка. Было достаточно просто зачеркнуть ошибку. Таким образом, позже я мог пересмотреть ошибки, если думал, что там все еще можно найти нечто полезное. Иногда ошибки или процесс их совершения приводят к чему-то важному, поэтому забывать их — не такая уж хорошая идея. В самом деле, так часто бывало, и возможность приглядеться к моей исходной «ошибке» подсказывала мне практичные идеи. Мои записи всегда включали в себя как «ошибки», так и верную информацию. В некоторой степени так же можно думать об отношениях между алхимией и химией — не то чтобы я строго относил алхимию к очевидным ошибкам. Скорее сходство заключается в том, что исходная попытка, которую некто вначале считал не очень правильной, может привести к правильному ответу (или некоторой его форме). Зачастую ответ присутствовал в «ошибке» и ждал своего часа для дальнейшего изучения или чуть больших усилий.

142

Джабир ибн Хайян, в латинизированном варианте — Гебер, достиг небывалого для исламской алхимии уровня знаний. Ему приписывают создание aqua regia («царской водки», на латыни — королевской воды), смеси азотной и соляной кислот (одна часть концентрированной азотной кислоты и три части концентрированной соляной кислоты по объему). Аqua regia растворяет множество металлов, включая золото и платину, которые являются членами группы металлов, известных как «королевские металлы» (отсюда и «королевская вода»), или «благородные металлы», которые плохо поддаются коррозии и окислению. Тем не менее aqua regia не может растворить все королевские металлы.

143

Филипп Ауреол Парацельс, или просто Парацельс, урожденный Теофраст Бомбаст фон Гогенгейм.

144

Алхимия была основой некоторых идей Ньютона, возможно, даже некоторых «наиболее уважаемых», о которых мы знаем. Действительно, кажется, что его исследования алхимии дали ему возможность понять нечто очень важное об атомах: они взаимно отталкиваются и притягиваются; они «толкают» и «притягивают» друг друга в различных степенях. Было даже предположение, что его знание о «притягательной» природе атомов привело его к созданию закона тяготения, чего мы, к сожалению, не узнаем.

145

Это было самое подходящее время, так как появлялся новый тренд экспериментальных исследований. Дни простых наблюдений и записи данных сменялись более критическим процессом экспериментов. В 1620 году Фрэнсис Бэкон (1561–1626) написал «Новый Органон», в котором заявлял о необходимости нового подхода к сбору и интерпретации экспериментальных данных. В этом труде он приводит доводы в пользу индуктивного, а не дедуктивного подхода к работе с экспериментальными данными. Таким образом, он заложил основы научного метода, который мы используем сегодня. Он также утверждал, что для того чтобы действительно добиться фундаментального понимания природы, нужно, так сказать, рассматривать природу на месте. Бэкон говорит об этом довольно изящно: «В напряжении и беспокойстве; так сказать, когда искусством и руками человека ее выводят из ее естественного состояния, сжимают и лепят». Действительно, аристотелевский подход простого наблюдения уступал дорогу экспериментам, которые допускали контролируемое наблюдение природных явлений.

146

Проводя эксперименты, Лавуазье был очень дотошен. Он особенно обращал внимание на количественные экспериментальные методы и использование химических весов, чтобы тщательно взвешивать исходные и конечные материалы. Его химические эксперименты опровергли теорию флогистона, согласно которой флогистон был чем-то, что было встроено в вещество и высвобождалось при горении. Вместе с тем эксперименты Лавуазье показали, что когда вещество горит, оно в процессе объединяется с кислородом; горение — процесс, при котором исходный материал объединяется с кислородом. Следовательно, когда исходный материал объединяется с кислородом, вы получаете конечный материал горения, который на самом деле тяжелее, чем ваш исходный материал. (В этом примере мы не считаем кислород исходным материалом.) Если бы действительно огонь был результатом выделения флогистона, следовало бы ожидать, что горение приведет к уменьшению массы, тогда как Лавуазье ясно показал, что она увеличилась.

147

Однако иногда в ходе химической реакции могут остаться исходные материалы, которые указывают, что не все было использовано. В этом случае количество оставшихся материалов в сумме с конечными материалами должно равняться количеству исходных материалов.

148

В 1644 году Декарт создал свой основной труд — «Первоначала философии». В нем он отрицает понятие действия на расстоянии и предполагает, что все пространство заполнено частями материи, которые взаимодействуют через прямой контакт. В 1687 году Ньютон написал «Начала». В этой работе он утверждает, что сила тяжести — один из способов взаимодействия на расстоянии, при котором объекты, такие как планеты, за счет силы тяжести взаимно притягиваются в вакууме. Ньютон принимал понятие действия на расстоянии без энтузиазма. «Общая теория относительности» Эйнштейна рассматривала гравитацию как искривление пространства — времени. Таким образом, материя искривляет пространство — время с помощью силы тяжести, являющейся результатом этого искривления, пространство — время влияет на движение материи, и действие на расстоянии оказывается исключенным. Действие на расстоянии возникает в квантовой запутанности. Эйнштейн назвал его «жутким действием на расстоянии», которое мы обсудим, когда будем говорить о квантовой механике в части 4.

149

Дальтон полагал, что частицы газа взаимодействуют с силами отталкивания, причем чем ближе частицы друг к другу, тем больше сила взаимодействия. Эту идею он взял из абзаца Ньютона в «Началах», где тот описывал вычисления, которые он проделал, чтобы показать, что закон Бойля — Мариотта можно верно вывести, исходя из того, что частицы газа взаимодействуют таким образом. Однако сам Ньютон не намеревался утверждать, что частицы газа действительно так взаимодействуют.

150

Дальтон также известен благодаря своему закону парциального давления. С его помощью можно рассчитать полное давление, оказываемое смесью газов в сосуде, когда газы в смеси не сильно взаимодействуют друг с другом — то есть когда они ведут себя почти как идеальный газ. Согласно закону парциального давления Дальтона, полное давление смеси получается просто сложением парциального давления каждого из газов в смеси. Парциальное давление — это давление, которое оказывал бы данный газ смеси, если бы он был в сосуде один; то есть каждый газ в сосуде, как предполагается, ведет себя независимо от других газов смеси.

Закон парциального давления Дальтона можно понять из кинетической теории газов. Согласно этой теории, средняя поступательная кинетическая энергия (кинетическая энергия, связанная с движением в направлениях x, y и z) отдельной частицы (атома или молекулы) в газе зависит только от температуры; если температура известна, можно определить среднюю поступательную кинетическую энергию отдельной частицы в газе. Поэтому при заданной температуре у всех частиц в смеси газа средняя поступательная кинетическая энергия одинакова. Безусловно, если у меня есть смесь, содержащая два газа, A и B, у частиц газа A та же средняя поступательная кинетическая энергия, что и у частиц газа B. Таким образом, если я возьму контейнер с частицами A и добавлю в него частицы B, средняя полная кинетическая энергия будет суммой энергий всех частиц A и B. Далее, давление газа в сосуде — мера средней полной кинетической энергии, которую частицы передают стенкам сосуда, когда сталкиваются с ними. Так как мы предполагаем, что частицы ведут себя идеально, добавив атомы газа B в сосуд с атомами газа A, мы увеличим среднюю полную кинетическую энергию, и полное давление будет суммой парциального давления газов A и B. Довольно забавно, что закон парциального давления Дальтона понятен из кинетической теории газов — теории, в которую никогда не верил сам Дальтон.

151

Растворимость — мера того, как хорошо одно вещество (раствор) распадается в другом веществе (растворителе). Представьте вещество, растворенное в воде. Его способность распадаться в воде связана с его способностью «тесно» взаимодействовать с молекулами воды. Если вещество будет неспособно тесно взаимодействовать с водой, оно не будет хорошо распадаться. Столовая соль хорошо распадается в воде, потому что ее молекулы вступают в тесное взаимодействие с водой, тогда как оливковое масло распадается плохо, поскольку его молекулы неспособны вступать в такие взаимодействия. Поэтому, строго говоря, растворимость не обязательно связана с весом. Однако есть некоторые примеры, когда вес вещества действительно связан с его способностью распадаться в растворителе. Вещества, разрабатываемые при изобретении лекарства, часто становятся менее растворимыми в воде, когда их вес увеличивается. Это происходит, потому что за счет повышения их веса растет количество их атомов углерода и водорода. Проще говоря, углерод и водород не вступают в достаточное количество предпочтительных связей с водой, таким образом понижая растворимость молекулы в целом.

152

«Песок», World Book Encyclopedia (Чикаго: издательство World Book, 2000).

153

Это реакция горения, а значит, вы должны с помощью источника пламени заставить водород гореть, таким образом запуская реакцию.

154

Вещества, содержащие несколько элементов, могут не придерживаться закона кратных отношений. Например, рассмотрим такое органическое соединение, как сахароза (сахар) и глюкоза (сахар, содержащийся в крови), молекулярные формулы которых — C_>12H_>22O_>11и C_>6H_>12O_>6соответственно. Здесь простое отношение целых чисел справедливо только для углерода в пропорции 2: 1.

155

В 1865 году Иоганн Лошмидт (1821–1895), используя кинетическую теорию, измерил размер одной молекулы воздуха. Простой набор его уравнений позволил бы ему оценить количество воздушных молекул в данном объеме. Однако он не сделал этот заключительный шаг, который был позже сделан Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), который вычислил значение 1,9 · 10^>25воздушных молекул на кубический метр.

156

С 2006 года Американский национальный институт стандартов и технологий (NIST) утвердил следующее значение: 6,02214179(30) · 10^>23частиц/моль.

157

Это также означает, что для того чтобы найти относительную массу элемента или химического соединения, оно либо должно находиться в газообразном состоянии, либо его можно перевести в это состояние; это не подходит для всех веществ, и поэтому необходимо применить другие методы.

158

Под «большим» я имею в виду что-то намного большее, чем один единственный атом или молекула, а нечто размером с частицу пыли.

159

Под «погруженным в жидкость» мы имеем в виду всего лишь противоположность веществу, которое растворяется в жидкости. Например, если вы добавляете сахар или соль в воду, они растворяются. Если какое-то вещество добавлено в воду, но при этом оно не растворилось в ней, а осталось на поверхности, то оно погружено в воду.

160

Первой техникой, которая могла получение изображения отдельных атомов, стал полевой ионный микроскоп (1950-е годы).

161

Это приблизительный расчет, поэтому давайте потратим минуту, чтобы понять его. Молекула воды, как вы знаете, имеет формулу H_>2O. Это плоская молекула, атомы которой связаны как H — O — H, и получающийся при их соединении угол составляет 104,5°. Длины связи H — O составляют приблизительно 0,1 нанометра (нм), что составляет 10^>–10метров (м), или 0,0000000001 м. Кроме того, расстояние между двумя молекулами водорода составляет приблизительно 0,15 нм. С другой стороны, размер броуновской частицы — несколько микрометров (мкм); один микрометр равен 10^>–6, или 0,000001 м. В письме своему другу Эйнштейн пишет, что согласно его новой теории, частицы такого размера должны совершать наблюдаемые (через микроскоп) движения благодаря тепловым движениям молекул жидкости. Поэтому для простоты я взял молекулу воды как самую длинную, около 0,15 нм (расстояние между атомами водорода), а также 1 мкм для размера броуновской частицы. Отношение этих размеров равно 6666,7, или примерно 6700.

162

Сегодня мы используем более изящный подход, чем выражение Эйнштейна. Можно записать уравнение движения Ньютона для броуновской частицы, которое учитывает трение (силу, пропорциональную скорости) и силу, представляющую собой случайную функцию времени, с которой действуют на тело молекулы жидкости (например, воды). Это уравнение известно как стохастическое дифференциальное уравнение Ланжевена.

163

Выражение Эйнштейна для среднеквадратичного смещения в одном направлении выглядело так: <x^>2> = 2Dt, где D — коэффициент диффузии, а t — величина промежутка времени. Однако данное выражение справедливо только по прошествии определенного временного периода. Если промежуток времени будет слишком коротким, среднеквадратичное смещение будет непосредственно следовать из уравнения движения Ньютона и может быть записано следующим образом: <x^>2> ~ <v_>0^>2> t^>2, где v_>0— средняя скорость системы при данной температуре. Отчасти это могло привести к ошибкам в изначальных измерениях. Таким образом, на коротких временных интервалах <x^>2> определяется классическими уравнениями движения, а при более длинных промежутках берет свое статистическая природа системы, и выражение Эйнштейна вступает в силу.

164

Именно так Перрен и смог получить первое точное значение, как отмечалось ранее.

165

Например, при комнатной температуре предметы испускают излучение преимущественно в инфракрасной области электромагнитного спектра, хотя наши глаза не позволяют нам непосредственно его наблюдать. Однако оно лежит в основе работы тепловизоров, использующихся в некоторых очках ночного видения, позволяющих четче видеть предметы в темное время суток. Другой знакомый пример — лампа накаливания, нить которой нагрета (до температуры около 3000 K), чтобы давать видимый свет. Однако, помимо видимого света, она излучает в инфракрасных и красных областях электромагнитного спектра, который составляет большую часть ее излучения.

166

При прохождении света через дифракционную решетку разные цвета в нем (то есть световые волны разных частот, или длин) разделяются. Таким образом, луч света, испускаемого атомом, в результате дает спектр, который служит «отпечатком пальцев» для этого определенного типа атома, или химического элемента.

167

Радуга образуется, когда Солнце появляется после дождя или светит во время дождя. Капельки воды, находящиеся в воздухе, разделяют солнечный свет на разные цвета, которые его составляют, — они и видны как радуга. Это явление отличается от дифракции и включает в себя как преломление, так и полное внутреннее отражение света в капле.

168

Следует признать, что я только предлагаю довольно вероятную схему, по которой Кирхгоф мог провести свой эксперимент.

169

Вы можете поспорить, что картошка снова поглощает часть испускаемого ею излучения, вследствие этого полное количество энергии поглощенного теплового излучения равно вышеупомянутой части энергии, испущенной индейкой, плюс количество энергии, снова поглощенной самой картошкой. Здесь я решил не принимать во внимание возможность повторного поглощения, поскольку окончательное математическое соотношение, которое мне хотелось бы обсудить, не изменится.

170

Второй закон требует, чтобы каждый объект в системе (например, индейка и картошка) по отдельности излучал и поглощал с одной и той же скоростью. Первый закон всего лишь требует, чтобы полная излученная энергия и полная поглощенная энергия были равны друг другу. Однако соблюдение только первого закона допустит следующее развитие событий: (в системе двух объектов) один из них будет только излучать, тогда как другой — только поглощать. Таким образом, излучающий объект будет продолжать охлаждаться, а поглощающий — нагреваться. Другими словами, мы имеем передачу тепла от холодного объекта к более теплому, что является строгим нарушением второго начала термодинамики. Эту катастрофу можно предотвратить заключением, что, когда система находится в равновесии, каждый объект должен излучать и поглощать с одной и той же скоростью.

171

Поразительно, что это уравнение не зависит от формы или состава объектов, или ящика.

172

Двое из его братьев и сестер были от первого брака его отца.

173

Стоит отметить, что в 1879 году Йозеф Стефан (1835–1893), основываясь на экспериментальных данных, выдвинул предположение, что полная энергия, излучаемая горячим объектом, пропорциональна T^>4. В общем случае это утверждение неверно, и в 1884 году Больцман получил точный результат, показав, что зависимость от T^>4, выдвигаемая Стефаном, применима лишь к абсолютно черному телу, а не к любому горячему объекту.

174

В своей «Научной автобиографии» 1948 года Планк отмечал, что близкая дружба его отца с профессором физики Кильского университета внесла свою лепту в его назначении на должность.

175

Возможно, Гельмгольц помог Планку в получении должности.

176

Во всей своей научной работе Планк использовал эту концепцию резонаторов, иногда рассматривая набор резонаторов, а иногда — только один.

177

На самом деле всякая неравновесная система, стремящаяся к равновесию, делает это необратимо.

178

Выражение для W в комбинаторной форме имеет вид:

W = (N — 1 + P)! / P! (N — 1)!

В модели Больцмана ему равнялось суммарное число разных способов, которыми P различимых порций энергии могут быть распределены по системе N различимых атомов газа, то есть полное число микросостояний системы.

179

Это равносильно утверждению, что система состоит из N независимых резонаторов. В этом случае полная энтропия системы будет суммой энтропий всех резонаторов, или N × S_>1, где S_>1— энтропия одного резонатора. Более того, данная аналогия является совершенно точной, поскольку Планк рассматривал свою систему в состоянии равновесия. Поэтому систему из N независимых резонаторов, находящуюся в равновесии, можно сравнить с равновесной системой, состоящей из всего лишь одного резонатора.

180

Весной 1905 года Эйнштейн написал своему старому школьному другу (из университета Цюриха), Конраду Хабихту, о своей работе с заметным энтузиазмом.

181

Однако Эйнштейн на самом деле ее получил в 1922 году.

182

Интересно, что энергия света в ящике при изменении объема не меняется. В уравнении Эйнштейна это следует из того, что он рассматривает свет с частотами, лежащими лишь в малом интервале, и этот интервал не меняется при изменении объема. Поэтому не изменяется полная энергия света.

183

В уравнении Больцмана для энтропии предполагается, что вероятность возникновения данного микросостояния одинакова для всех микросостояний. В общем случае это не так, и обычно для расчета энтропии требуется более сложное выражение.

184

Любопытно, что, несмотря на то что выражение для разности энтропий этой системы было известно (и по-прежнему известно), Эйнштейн потратил около двух страниц, чтобы его заново вывести своим индивидуальным способом. Прямо перед тем, как перейти к этому выводу, Эйнштейн сделал паузу, чтобы выразить что-то похожее на недовольство способом определения W, который использовали другие. Точнее говоря, он чувствовал, что метод подсчета, введенный Больцманом и примененный Планком, был довольно неестественным. На самом деле он обещал ввести свой собственный новый метод в следующей статье: «…и я надеюсь, что он устранит логическую трудность, которая по-прежнему мешает применению принципа [уравнения] Больцмана». Статья, которую обещал Эйнштейн, никогда не была издана. Несомненно, часть (если не бо2льшая) его желания потратить время на проведение вывода заново была попыткой обосновать будущую статью. Возможно Эйнштейн представлял способ обобщения определения W, полученного для идеального газа, на другие системы. К сожалению, его оптимизм был неуместен, поскольку идеальный газ представляет собой особый случай, в котором W рассчитывается легко.

185

Часто ошибочно говорят, что Эйнштейн с помощью той работы продолжил развивать идеи Планка. Это неправильно, поскольку здесь Эйнштейн вообще не использовал работы Планка.

186

Конкретнее, он говорил: «Определенный вид движения, или быстрое и живое действие, которое передается нашим глазам через толщу воздуха и других прозрачных тел, подобно тому, как движение или сопротивление тел, с которыми сталкивается человек, передается его рукам посредством палки».

187

Точная хронология экспериментов Ньютона по оптике немного запутана. Тем не менее, вероятнее всего, Ньютон начал свою работу по оптике около 1666 года, расширяя первоначальные исследования, и прояснил свою теорию в 1669. Хотя к 1670 году его теория была полностью разработана, свои изначальные взгляды он опубликовал только в статье 1672 года.

188

Звук с тоном ниже — то есть звуковая волна большей длиной волны (меньшей частоты) — будет дифрагировать (или огибать) объект в большей степени, чем волна с тоном выше (звуковая волна меньшей длины, то есть большей частоты). Это означает, что звук с тоном ниже легче услышать около предмета, который может находиться перед источником, чем звук с более высоким тоном.

189

В 1862 году Фуко измерениями получил значение скорости света 299 796 км/с, что хорошо согласуется с современным значением — 299 792,458 км/с.

190

Данная картина немного упрощена. Отдельный электрон испытывает притяжение со стороны всех близких атомов, а не просто со стороны одного атома.

191

Планк намеренно сохранял описание своих резонаторов нечетким и использовал его для своего удобства в своей работе над квантовой теории света и вещества.

192

Импульс света (как волны) можно получить из уравнений Максвелла, которые также покажут, что он равен энергии света, разделенной на скорость его распространения. Наконец, тот же самый результат получают из соотношения между энергией и импульсом в рамках специальной теории относительности, поскольку масса покоя фотона равна нулю.

193

Эйнштейн также нуждался в ясном понимании импульса фотона, чтобы c легкостью продолжить расчет числа микросостояний. В 1905 году у Эйнштейна должно было быть (во всяком случае, не могу себе представить, что его не было) четкое представление об импульсе фотона. Если оно и было, он не сообщил о нем сразу же. На самом деле, первым импульс фотона упомянул Йоханнес Штарк в 1909 году, в том же самом году (как мы обсуждали выше), когда Эйнштейн показал, что у флуктуации импульса света есть корпускулярная и волновая составляющие. Без сомнений, к 1909 году Эйнштейн, должно быть, очень хорошо был знаком с импульсом фотона. Но продолжал молчал. И так было до 1917 года, когда Эйнштейн реально об этом заговорил.

194

Однако, как мы обсуждали ранее, он уже определил число микросостояний с помощью своего предыдущего подхода.

195

Бозе прямо использовал импульс фотона (hν / c), что сыграло важную роль в разработке этой новой картины микросостояний фотонов.

196

В своем труде 1905 года Эйнштейн как раз предположил, что фотоны (световые кванты) сохраняются. Это предположение проникает в вывод Эйнштейна, когда он приравнивает энтропию идеального газа к энтропии света, что (как мы помним) приводит к выражению E = Nhν, где N — фиксированное число атомов идеального газа. Эйнштейн понимал N также как число фотонов и таким образом предполагал, что фотоны сохраняются.

197

Тем не менее, Бозе искал способ достижения максимума числа микросостояний, чтобы получить равновесную энтропию согласно методу Больцмана. С другой стороны, Планк использовал метод Больцмана для получения числа микросостояний, пропустив шаг максимизации и предположив, что результат был равновесной энтропией.

198

Планк считал свои резонаторы различимыми, как и Больцман — атомы газа. Однако порции энергии считались неразличимыми, как и частицы у Бозе (фотоны).

199

Очевидно, Бозе обсуждал с Эйнштейном идею того, что фотоны имеют что-то наподобие спина, но Эйнштейн сказал ему не акцентировать на этом внимания. Сомнения в необходимости развития темы спина в общем-то понятны, поскольку концепция частицы с «квантовым спином» тогда была неизвестна.

200

Вспомним, что Эйнштейн уподобил свет идеальному газу. Следствие его утверждения состоит в том, что оно означает одинаковость методов подсчета микросостояний как для фотонов, так и для идеального газа. Другими словами, Эйнштейн использовал подход, очень отличающийся от такового у Бозе (который был правильным). Тем не менее, он получил верный результат. Это было возможно, поскольку Эйнштейн рассматривал свет при низких плотностях энергии (используя в своих вычислениях закон излучения Вина). То есть правильные результаты получились, когда он сравнил его с моделью идеального газа, хорошо описывающей реальный газ при низких плотностях. Более того, микросостояния идеального газа у него обусловливаются различимостью атомов газа. Поэтому Эйнштейн также пришел к рассмотрению фотонов как различимых. Опять же, это все работало, поскольку Эйнштейн рассматривал каждую систему только при низких плотностях.

201

Статьи Бозе и Эйнштейна на самом деле были лишь самым началом квантовой статистики. Сегодня мы знаем, что в зависимости от квантовой статистики, которой они подчиняются, микроскопические частицы принадлежат одной из двух возможных групп: они являются либо бозонами, либо фермионами. Таким образом, хоть они все неотличимы друг от друга, в дальнейшем их нужно относить к соответствующим группам. Применением метода Бозе к атомам Эйнштейн раскрыл их неразличимую сущность. Понадобились работы Поля Дирака (1902–1984), Вольфганга Паули (1900–1958) и других, которые вскоре последовали за работой Эйнштейна, чтобы прояснить вопросы классификации в квантовой статистике.

202

Адаптируя подход Бозе (в своей первой статье 1924 года) и применяя его к идеальному квантовому газу, Эйнштейн окончательно принял метод Больцмана, хотя раньше его открыто критиковал. Это связано с тем, что при вычислении полного числа микросостояний и суммарной энтропии Бозе использовал, хоть и модифицированную, но версию метода Больцмана. Следуя подходу Бозе, Эйнштейн поступил так же.

203

Удивительно, что Эйнштейн обнаружил фазовый переход, используя при рассмотрении идеального газа метод подсчета микросостояний Бозе. Другими словами, он установил этот переход через чисто статистическое рассмотрение неразличимых частиц. Между тем, сегодня мы знаем, что этот тип фазового перехода присущ только бозонам.

204

Распространение де Бройлем дуализма на рентгеновские лучи было значительным расширением работы Эйнштейна 1905 года. В то время Эйнштейн имел дело лишь с излучением абсолютно черного тела в случае низкой плотности энергии, который был описан в законе излучения Вина (а не Планка).

205

Есть предположения, что Эйнштейн уже пришел к концепции корпускулярно-волнового дуализма вещества до того, как познакомился с какой-либо работой де Бройля.

206

Результатами этих усилий стали статьи «По кинетической теории магнетизма» и «Исследование кинетики диэлектриков, точки плавления, пиро- и пьезоэлектричества».

207

Сегодня Изонцо расположена на территории нынешней Словении. В 60 милей в длину, река лежит в долине, по обе стороны от которой находятся горы, и течет с севера на юг, беря начало в Юлийских Альпах и впадая в Адриатическое море. В течение Первой мировой войны она находилась на территории Австро-Венгрии, вдоль ее границы с Италией. Между 1915 и 1917 годами на реке Изонцо прошло 12 битв.

208

В 1916 году Эйнштейн закончил работу над общей теорией относительности. Он показал, что в присутствии вещества пространство-время искривляется, что приводит к «силе», которую мы называем силой гравитации. Так что прошли те времена, когда люди думали, что гравитация представляет собой силу, действующую (мгновенно) на расстоянии, приводя к тому, что одно тело притягивается к другому. В 1918 году Герман Вейль (1885–1955) попытался объединить те два взаимодействия, которые были тогда известны физикам, — гравитационное и электромагнитное, в рамках общей теории относительности посредством введения калибровочного преобразования. В пространстве-времени Эйнштейна (Римана) модуль вектора при его движении от точки к точке по пространственно-временной траектории остается постоянным. Однако с калибровочными преобразованиями Вейля все меняется, и теперь модуль вектора при движении в этом новом (не римановом) пространстве-времени будет меняться. Хорошей новостью было то, что в рамках этого математического подхода Вейль успешно объединил гравитацию и электромагнетизм. Он отправил свои результаты Эйнштейну, тот был сначала от них в восторге, но в конечном счете не смог принять реальные физические последствия подхода Вейля. В теории Вейля находит отражение тот факт, что длина измерительного стержня будет меняться от точки к точке при его движении вдоль траектории в пространстве-времени. Другими словами, значение, полученное при измерении в одной точке, будет отличаться от значения, измеренного в другой точке, просто потому, что положение в пространстве-времени меняется. Более того, темп изменения во времени будет также меняться от точки к точке на пространственно-временной траектории. То есть измерения длины и времени больше не являлись абсолютными (какими они были в теории Эйнштейна). Вместо этого они становятся относительными и зависят от положения, где они были проведены, — они локально зависимы.

В частности, Эйнштейн указал на то, что, согласно теории Вейля, атомные спектры определенного химического элемента будут зависеть от того, где и когда были проведены измерения. Однако мы знаем, что физически дело обстоит иначе. В 1922 году в своей статье «О замечательном свойстве квантовых орбит одного электрона» Шрёдингер вернулся к подходу Вейля. Он рассмотрел электрон на орбите в атоме водорода согласно атомной модели Бора. Далее он вообразил связанный с ним вектор, величина которого менялась в соответствии с теорией Вейля при движении электрона (в пространстве и во времени) от точки к точке по своей орбите. Какое именно физическое свойство представлял вектор, Шрёдингеру тогда было не ясно. Однако он отметил, что математически (с правильным выбором неопределенной постоянной, в качестве которой он взял постоянную Планка) было возможно сохранить модуль вектора электрона при его движении по орбите, тем самым устраняя любые физически не желаемые эффекты. Другими словами, оказалось, что в этом случае теория Вейля была физически реализуемой. Хотя Шрёдингер не смог установить физический смысл предположенного вектора, он заметил: «Сложно поверить, что этот результат — всего-навсего случайное математическое следствие квантовых условий и не имеет более глубокого физического смысла». Позднее Шрёдингер поймет, что физический смысл его неопределенного вектора был не чем иным как связанным с длиной волны де Бройля. Интересно подумать, что, если бы Шрёдингер не был так измучен, возможно, он смог бы на основе этого намека написать свой величайший труд уже тогда, а не четыре года спустя.

209

На самом деле волновое уравнение он знал еще до того, как сделал этот «вывод», по всей видимости, получив уравнение очень простыми математическими манипуляциями. Вывести волновое уравнение Шрёдингера из классической механики напрямую невозможно. Это связано с тем, что вдобавок к математическим формулам требуются особые постулаты. В частности, Шрёдингер потребовал, чтобы волновая функция как решение его уравнения была вещественной, однозначной, ограниченной и имеющей непрерывную вторую производную. К моменту написания своей четвертой статьи он пришел к заключению, что иногда волновая функция может быть комплексной (то есть не вещественной) величиной.

210

Эйнштейн на самом деле рассмотрел три процесса: спонтанное излучение, вынужденное излучение и поглощение. Гейзенберг сосредоточился только на спонтанном излучении, при котором переход осуществляется без взаимодействия со светом. Именно на спонтанное излучение Эйнштейн обратил внимание в конце своей статьи, отмечая, что из его теории следовало, что направление импульса отдачи для этого процесса — к его величайшему сожалению — определен исключительно случаем.

211

Именно эти последние две статьи составляют основу матричного подхода к квантовой механике, преподаваемого в настоящее время.

212

Импульс электрона после столкновения можно определить с помощью детектора. Импульс фотона до столкновения можно установить с помощью источника света наподобие лазера, где известны как модуль, так и направление импульса фотона. Тем самым остается определить импульс фотона после столкновения, чтобы найти начальный импульс электрона.

213

Сегодня мы знаем, что на самом деле это постоянная Планка, поделенная на 4π.

214

Задний экран расположен на расстоянии, значительно превышающем расстояние между центрами двух щелей.

215

Читателю, которому интересно узнать больше об этой области исследования, предлагаю взглянуть на книги Брайана Грина.

216

Посмотрите книгу Брайана Грина «Скрытая реальность. Параллельные миры и глубинные законы космоса».

217

Я рекомендую «Вечность. В поисках окончательной теории времени» Шона Кэрролла.