Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность - [7]

, 5 или 6, плюс или минус? Не знаю, без разницы. Вместо этого вы видите просто два множителя, формирующих скелет уравнения: чанк умножить на чанк равно нулю.

Если вы знакомы с таблицей умножения, вы знаете, что ноль — это своеобразный результат.

6 × 5? Не ноль.

18 × 307? Не ноль.

19,91632 × 4 600 000 000 000? Нет смысла открывать калькулятор на вашем смартфоне: это тоже не ноль.

Ноль — единственное в своем роде число в мире умножения. В отличие от числа, скажем, 6, которое можно разложить на множители различными способами (3 × 2, 1,5 × 4, 1200 × 0,005…), ноль — особая, своенравная величина. На самом деле есть всего один способ получить ноль, перемножая два числа: если одно из них само по себе равно нулю.

Здесь окупается наша стратегия дробления: один из множителей равен нулю. Таким образом, x равен либо 5, либо 7.

Уравнение решено.

Чанкинг прочищает не только наши желудки, но и наши умы. Он делает мир удобоваримым. Чем больше вы узнаете, тем агрессивнее вы чанкаете. Старшеклассник может прочанкать целую строку алгебраических символов и понять, что это формула площади трапеции. Старшекурсник может прочанкать несколько дремучих строчек вычислений и увидеть, что это формула объема твердого тела вращения. Аспирант прочанкает полстраницы грозных греческих букв и сделает вывод, что речь идет о вычислении хаусдорфовой размерности множества. Чем выше ваш уровень, тем больше вы узнаете. Что такое трапеции? Как ведут себя интегралы? Что курил Хаусдорф^{11} и где бы нам такое раздобыть?

Но мы не изучаем детали ради деталей. Мы узнаем детали, чтобы позже их проигнорировать и сосредоточиться на более общей картине.

Поменяйте местами два символа. Что произойдет?

Ну, с точки зрения новичка, ничего. Вы поменяли две закорючки, две буквы тарабарского языка. Какая разница? Но, с точки зрения математика, это все равно что поменять местами море и небо, горы и облака, птицу и рыбу (к величайшему ужасу обеих). Поменять местами два символа означает поменять все на свете.

Например, возьмем два выражения и представим, что х равен 10.

А 10² — большое число. Это 10 × 10, то есть 100 — приемлемое количество школьников, которым я смогу преподавать в этом году, или расстояние (в милях) до парка с аттракционами, или стоимость (в долларах) для оплаты телевидения. (Но сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов.)

Но 2¹⁰гораздо больше. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024. Стольких школьников можно выучить за десять лет, столько ехать до самого грандиозного парка с аттракционами на свете, столько долларов можно заплатить за самое навороченное телевидение. (Но чрезвычайно сомнительно, что вы сможете приютить такое количество далматинов; вот почему приняты законы о насилии над животными.)

Чем больше мы увеличиваем x, тем больше разрыв между значениями двух функций. На самом деле слово «больше» слишком скромное, это как назвать Большой каньон «трещинкой». Когда х возрастает, разрыв между х² и 2x приобретает катастрофический характер.

100² — довольно много. 100 × 100 = 10 000.

Но 2¹⁰⁰ — это невообразимо много.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376, примерно миллиард миллиардов триллионов.

Допустим, мы ведем измерения в фунтах. 10 000 фунтов^{12} — это масса грузовика, груженного кирпичами. По правде говоря, это тяжело, но второе число принадлежит к другому классу величин.

Такова масса сотни тысяч планет Земля.

Функции х² и 2x не слишком отличаются друг от друга для нетренированного глаза. Но, чем дольше вы изучаете математику и чем более бегло вы говорите на этом языке закорючек, тем более драматичной становится разница. Вскоре она становится нутряной, тактильной; она начинает задевать ваши чувства, и это последний жизненно важный пункт нашей стратегии. Мы должны читать строки математического текста, испытывая весь спектр эмоций — от радости и приязни до страха и трепета.

Рано или поздно неумение отличить функции х² и 2x становится таким же абсурдным, как образ грузовика, который тащит за собой сто тысяч планет.

Глава 4. Как естествознание и математика видят друг друга?

1. Больше не близнецы

В девятом классе мы с моим другом Джоном были удивительно похожи: задумчивые, круглолицые, темноволосые мальчишки, молчаливые, как мебель. Учителя путали наши имена; старшеклассники думали, что мы один и тот же человек; в классном журнале мне выставляли его оценки, а ему — мои. Насколько я помню, мы стали друзьями только ради того, чтобы дурачить окружающих.

Со временем мы выросли. Джон сейчас — широкогрудый мужчина ростом 188 см, он выглядит как принц из диснеевского мультфильма. Мой рост 175 см; говорят, что я нечто среднее между Гарри Поттером и Дэниелом Рэдклиффом. Этап нашей дружбы, когда мы были почти что близнецами, давно миновал.