Математика, Философия и Йога - [23]

Итак, поскольку число пи олицетворяет собой, так сказать, границу между квадратом и кругом, между обычным сознанием и сознанием внешним, не указывает ли оно на то, что элохимы, кумары, дхьян-чоханы, татхагаты – то есть люди настолько возвысившиеся, что встреча с ними оказалась бы намного обширнее любых возникающих у нас, любых доступных нам, простым смертным, умозрительных представлений о Боге, – пребывают на границе между Трансцендентным Там и проявленным здесь, внизу? Я предлагаю вам подумать об этом.

Число пи возникает повсюду. Оно символизирует все то, что называют трансцендентными числами – и это очень своеобразные числа. Их строгое определение звучит достаточно непонятно. Тем, у кого нет математического образования, оно, скорее всего, покажется бессмыслицей, и потому мне придется перейти к наглядным примерам. Прежде всего, каждый знает, что такое целые числа. Все мы знакомы и с дробями, которые частично заполняют промежутки между целыми. Если вы изучали алгебру, то помните, что существуют и отрицательные числа: -1, -2 и так далее. Кроме того, есть числа иррациональные – такие, как V2. Они располагаются повсюду между целыми и дробями. Помните, что те точки на прямой, которые соответствуют числам, не имеют никаких размеров, то есть их поразительно много даже в крошечном отрезке. Вообще говоря, на любом отрезке их бесконечно много, их просто невозможно сосчитать.

Однако даже эти классы не покрывают всех существующих чисел. Есть числа, которые называют «мнимыми». Одним из них является число V-1, его обычно обозначают знаком i. Это число нельзя отнести к какому-либо из перечисленных классов, и потому для изображения чисел li, 2i, 3i, 4i, дробных и иррациональных i спользуется вертикальная ось (см. рис. 19). Наконец, существуют сочетания мнимых и действительных чисел. Пусть у нас есть число 2i, отмеченное на вертикальной оси, и обычное число 3, показанное на оси горизонтальной. Отметим точку А, которая будет соответствовать числу 3 +2i. Такие величины называются комплексными. С ними можно проводить любые действия, включая обратные операции, и в результате получатся другие числа на той же двумерной плоскости. Это значит, что вы можете не только складывать такие числа, но и вычитать одно из другого – ведь в нашем распоряжении есть отрицательные величины. Можно извлечь из любого комплексного числа корень и получить иррациональное комплексное число. Использование иррациональных чисел и переход к мнимым и комплексным величинам обеспечивают все возможные сочетания и позволяют извлечь корень из любого, даже отрицательного числа. Результатом любой операции на этой плоскости станет какая-либо точка той же плоскости, и это первый случай, когда такое требование выполняется. Это полное и замкнутое числовое поле.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Рис.19

Что касается трансцендентных чисел, то они не входят и в эту группу, то есть не могут быть обозначены на этой плоскости. Точки комплексной плоскости называют алгебраическими числами, так как они могут быть решениями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, а трансцендентные числа -нет. Их называют трансцендентными именно по этой, сугубо технической причине, и вполне возможно, что тот математик, который ввел это название, не до конца осознавал, что именно оно означает. Не исключено, что эти числа трансцендентны и в ином смысле.

Вот некоторые причудливые свойства трансцендентых чисел. Самыми известными и чрезвычайно важными из них являются пи и е (я надеялся, что смогу наглядно объяснить и второе число, но мне это не удалось). Некто сказал, что вселенная вообще не смогла бы существовать без пи и е; в более традиционном смысле можно утверждать, что в отсутствие пи и е нам никогда не удалось бы постичь вселенную и управлять ею. Видите, насколько важны числа? Впрочем, я не буду отклоняться от темы. Времени осталось мало, так что опустим этот вопрос.

В числе пи действительно есть нечто загадочное. Предположим, у вас есть поверхность с рядом параллельных прямых и расстояния между соседними линиями одинаковы. Возьмем несколько булавок или иголок – любые предметы подобной формы, -длина которых в точности равна расстоянию между прямыми. Бросим их на эту поверхность пятьсот, тысячу раз и подсчитаем количество булавок, которые не пересекли ни одной прямой, и число булавок, пересекших хотя бы одну линию. Будем вносить эти суммы в два столбца и вычислять отношение соседних пар чисел. Мы обнаружим, что оно приближается к числу пи/4. Откуда возникло число пи? Оно входит в формулу, эмпирическую формулу, связанную с вопросами вероятности. Какое отношение может иметь число пи, например, к задаче определения того, какой процент населения доживает до семидесяти лет? Связь существует. Число пи входит и в эту формулу. Тот факт, что это число входит в уравнения теории вероятности, позволяет уверенно предположить, что упорядоченность присуща самым случайным событиям, и даже те явления, которые выглядят совершенно непредсказуемыми, подчиняются какой-то закономерности. Эти загадки вызывают трепет. Для того чтобы понять их, нужно быть хоть немного математиком, и тогда они действительно вызовут холодок в спине. Если вы просто бросаете булавки на поверхность, никакого трепета не возникнет. Однако это и в самом деле совершенно загадочные законы.