Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [10]
Смешанные числа и неправильные дроби
Смешанное число – это целое число с дробью, например 6½.
Неправильной называют дробь, числитель которой больше знаменателя, например 13/2 (кстати, 6½ = 13/2).
Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, умножьте его целую часть на знаменатель и прибавьте результат к числителю. Запутались? Пора снова браться за пиццы…
Чтобы преобразовать неправильную дробь обратно в смешанное число, относитесь к ней как к операции деления. Конвертируем 7/3: 7 ÷ 3 = 2 и 1 в остатке. В ответ идет 2 целых, а 1 остается над тройкой, что дает 2⅓.
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби обычно облегчает их умножение и деление, в чем мы сейчас убедимся.
Умножение дробей и значение слова «от»
Складывать и вычитать дроби бывает неудобно, но, к счастью, с умножением и делением все обстоит гораздо проще.
Умножение дробей часто скрывается за словом «от». Если вы говорите «три четверти от двенадцати», на самом деле вы имеете в виду 3/4 × 12. При умножении целого числа на дробь нужно выполнить две операции: умножить число на числитель и разделить на знаменатель. Вот как это будет выглядеть для 3/4 × 12.
Чтобы перемножить две дроби, нужно просто перемножить их верхние и нижние части.
Предположим, вы каждые субботу и воскресенье по 7 часов наблюдаете за птицами. Какая это будет часть от целой недели? Суббота и воскресенье составляют 2/7 недели, а поскольку в сутках 24 часа, вы тратите 7/24 от них, пытаясь выследить пеструю камышовку или хохлатого зяблика. Получается выражение
Наверное, вы заметили, что 14 и 168 делятся на 14, что даст в результате 1/12. А не лучше ли вообще не связываться с такими большими числами? При умножении дробей всегда стоит поискать возможность их по ходу дела сократить. Самое оптимальное – найти одно и то же число в числителе и знаменателе дробей, потому что тогда эти числа взаимно уничтожаются.
Вернемся к выражению
Взгляните на две семерки: вверху дроби и внизу. Подсчитав верхнюю и нижнюю части дроби, мы в итоге придем туда, откуда начали, то есть 14/168. Вместо этого зачеркнем обе семерки и заменим их единицами. Давайте посмотрим, что еще можно сделать.
Итак, теперь вы знаете, что тратите двенадцатую часть недели на наблюдения за птицами. Это соответствует одной минуте из каждых 12 минут вашей жизни или же целому месяцу в год! (Если вы начнете высчитывать дроби для всех своих регулярных занятий, например для хобби или поездок на работу, результаты могут вас шокировать. К примеру, большинство людей проводят в ванной комнате около 10 дней в году.)
Есть одна старая математическая головоломка, которую время от времени перепечатывают в газетах. Сколько будет 9/10 × 8/9 × 7/8 × 6/7 × 5/6 × 4/5 × 3/4 × 2/3 × 1/2? Тот, кто решает это опубликовать, наверняка сидит в своем кабинете, поглаживая белую кошку, и демонически хохочет, предвкушая, как читатели засядут за вычисления. Однако не тут-то было: эти числа взаимно уничтожаются, и в итоге остается 1/10.
Деление на дробь
Звучит безумно, но, отправившись в гости к своей тетушке, вы поймете, в чем тут дело. Тетя живет в 10 милях от вас, и вы проехали половину пути – сколько это миль? Требуется вычислить «половину от десяти», и это «от» означает, что нужно умножить: 10 × 1/2. Разумеется, тот же ответ вы получите, если разделите 10 на 2.
Целые числа можно записывать как дроби с единицей внизу, тогда наше выражение можно представить как (10/1) × (1/2) = (10/1) ÷ (2/1). То есть делить на 2 или на 2/1 – это то же самое, что и «перевернуть 2 вверх ногами» и умножать на 1/2.
К задачам, которые связаны с делением на дроби, нужно подходить с умом. Положим, вы обзавелись кучей стульев и знаете, что на покраску одного стула уходит 2/3 банки краски (да, это очень маленькие банки). Если банок у вас 8, сколько всего стульев удастся покрасить?
Быстренько прикинем, что здесь к чему. Представим, что вы красите столы, и на каждый уходит 2 банки краски, а всего банок 8. Сколько столов получится покрасить? Считаем: 8 ÷ 2 = 4 стола.
Обратите внимание: мы делим на количество банок, которое уходит на покраску одного стола. Со стульями то же самое: нужно делить на количество банок, которое требуется на каждый стул. Таким образом, число стульев, которые удастся покрасить, будет равно 8 ÷ 2/3. Чтобы посчитать, сколько это, перевернем 2/3 вверх ногами и умножим.
Итак, восьми банок хватит на 12 стульев. Обратите внимание, что после деления на правильную дробь число становится больше, чем было вначале.
Получив такой ответ, убедитесь, что он соответствует действительности. Если на каждый стул нужно 2/3 банки, тогда одной банки хватит на покраску одного стула и еще немного краски останется. Значит, имея 8 банок, вы точно покрасите 8 стульев плюс еще несколько, так что ответ 12 выглядит вполне резонным.
Прежде чем закончить с дробями, давайте-ка из чисто мазохистских побуждений решим по-настоящему зверскую задачку. Сколько бочек нефти понадобится, чтобы доверху наполнить бассейн для рыбок?
