Маленькая книга о черных дырах - [7]

Снова заметим, что в этой ситуации система А является привилегированной, так как именно в ней шест Алисы покоится. Назовем его длину, измеренную в системе А, собственной длиной. Длина шеста, измеренная в системе Б, всегда меньше, и мы будем ее называть сокращенной длиной. Замедление времени и сокращение длины тесно связаны, как можно видеть из следующего примера. Когда Алиса бежит по гаревой дорожке к планке, в ее собственной системе отсчета у нее уходит на это вдвое меньше времени, чем то, которое Боб и Билл могли бы измерить способом, о котором мы уже рассказывали при описании поездки Алисы в Нью-Йорк. Получается, что при рекордной скорости Алисы в 87 % скорости света время замедляется вдвое. Во столько же раз сокращается и длина: наблюдатели в системе А говорят, что длина шеста 6 метров, а в системе Б он всего лишь трехметровый. В общем, время замедляется, а длина сокращается всегда в одинаковое количество раз: этот множитель иногда называется множителем Лоренца, или Лоренц-фактором.

Наше обсуждение специальной теории относительности, которое сосредоточилось на геометрии пространства-времени, пока что никак не связано со знаменитым уравнением E = mc². Попробуем найти такую связь, рассмотрев частный случай вывода этого уравнения, в котором все главные шаги можно будет проиллюстрировать геометрически. Этот случай мы называем частным, потому что он требует приближений и формул, которые мы не можем сейчас строго обосновать или вывести.

Сначала давайте сформулируем на языке уравнений, что такое масса. Лучше всего сделать это с помощью уравнения p = mv, где p – импульс, или количество движения, а v – скорость медленно движущегося массивного тела, масса которого равна m. Соотношение p = mv прямо вытекает из механики Ньютона, и мы можем спокойно им пользоваться, пока v гораздо меньше скорости света. Следующий шаг – найти какое-то выражение для энергии. Здесь нам придется принять без доказательства еще один результат теории электромагнетизма: количество движения светового импульса p связано с энергией света E уравнением. Как мы уже выяснили, световые импульсы отличаются тем, что всегда движутся с одной и той же скоростью, независимо от системы отсчета. Это совсем не похоже на поведение массивных объектов. В данной системе отсчета массивные объекты могут либо стоять на месте, либо двигаться с некоторой скоростью v, которая, в соответствии со специальной теорией относительности, всегда меньше скорости света.

Пусть теперь мы знаем количество движения массивного объекта p = mv и светового импульса. Но было бы неверно сказать, что это одна и та же величина: ведь массивный объект не то же самое, что световой импульс! Вместо того чтобы приравнять эти значения друг другу, надо подумать, как создать массивный объект из световых импульсов, – тогда мы сможем использовать наши уравнения количества движения для вывода соотношения E = mc².

Попробуем сделать это так: установим два идеально отражающих зеркала в точности друг напротив друга и заставим два идентичных световых импульса носиться туда и сюда между зеркалами так, чтобы они всегда двигались в противоположных направлениях. Покажем, что эта воображаемая установка, по сути, является массивным телом. Представим себе, что мы способны сделать зеркала очень легкими – настолько, что в своих вычислениях как массы, так и энергии массой зеркал мы можем пренебречь. Тогда энергия нашего «массивного тела» будет вдвое больше энергии каждого из световых импульсов. Его количество движения в точности равно нулю, так как один световой импульс имеет количество движения, направленное вверх, в то время как у другого импульса его количество движения направлено вниз, и эти противоположно направленные векторы в сумме дают ноль. Ведь наше «тело» в целом никуда не движется: движутся только его части.

Чтобы вывести, наконец, из этой модели уравнение E = mc², нам осталось как-то привести нашу хитроумную конструкцию из зеркал и световых импульсов в движение. Для простоты давайте отслеживать поведение лишь одного из импульсов: если следить за обоими, и энергия и масса будут просто вдвое больше, вот и всё. Проще будет считать, что наша конструкция движется в плоскости, перпендикулярной бегающим вверх-вниз между зеркалами световым лучам, – в горизонтальной плоскости. Как только движение началось, световой импульс уже не бегает просто вверх и вниз. Теперь он перемещается и в горизонтальной плоскости, влево-вправо. Вот тут-то и начинает работать геометрия. Движение импульса в горизонтальной плоскости происходит со скоростью v, а движения вверх-вниз – со скоростью c. (На самом-то деле эти последние движения имеют скорость чуть меньшую световой, так как скорости света должна быть равна полная скорость светового импульса. Но при той точности, которая нам нужна, эту деталь можно проигнорировать.)

Другими словами, можно сказать, что в горизонтальной плоскости происходит v/c часть общего движения светового импульса. Тогда можно утверждать, что количество движения фотона в горизонтальной плоскости p_{влево-вправо} – это