Квантовая магия - [103]
Таким образом, дифференциальная геометрия дает исследователю надежный математический формализм, позволяющий установить взаимнооднозначное соответствие между локальным точечным описанием физических величин (импульс в данной точке в виде вектора) и нелокальным описанием (тот же импульс, но уже в объеме, окружающем эту точку в виде 1-формы). А значит, учитывая наши цели, необходимо поближе познакомиться с этим геометрическим объектом (небольшое дополнение см. в Приложении).
Нам понадобится еще одно понятие дифференциальной геометрии. Это 1-форма объема. Достаточно будет ограничиться частным случаем этого понятия для трехмерного куба в системе отсчета, относительно которой он находится в покое. Тогда 1-форма объема с 4-скоростью u и ребром L определяется как Σ = —Vu = L>3в случае стандартной положительной ориентации u в прошлое (u = —) или в другом варианте Σ = L>2Δ. По своему геометрическому смыслу 1-форма объема представляет собой объем, «заметаемый» со временем либо за счет движения самого объема (первый вариант), либо за счет движения одной из его граней, например, площадки = L>2 в направлении x со скоростью u (второй вариант).
1-форма произвольного объема может быть путем разбиения ее на введенные элементарные объемы.
w, Σ) = w · p, T(σ, Σ) = áσ, pñ. (5.6)
Это определение позволяет легко получить компоненты тензора энергии импульса в чисто энергетическом представлении, поскольку проекция импульса p на 4-вектор скорости наблюдателя u дает энергию, измеренную наблюдателем, взятую с обратным знаком, то есть W = —u · p.
Пространственные компоненты из (5.5) можно интерпретировать, если рассмотреть двумерную грань 1-формы объема, положительная нормаль к которой направлена по k. За время Δt эта поверхность «заметает» 3-объем, 1-форма которого равна Σ = L>2>┴k Δ. Поместим наблюдателя на эту поверхность. В отличие от общепринятого подхода, когда наблюдатель неподвижно сидит на поверхности и измеряет проекции импульса, пересекающего площадку на направления единичных векторов в своей системе, мы заставим наблюдателя двигаться с некоторой скоростью u поочередно вдоль всех своих координатных осей. За время Δt он сканирует всю площадку и прилегающий объем, отмечая происходящие изменения. Проецируя 4-импульс Δp, пересекающий поверхность, на свою скорость, наблюдатель получает информацию о распределении энергии в различных направлениях. На первый взгляд может показаться, что такой подход лишен смысла, поскольку численное значение энергии, полученное наблюдателем, зависит от его собственной скорости, и результат измерения будет неоднозначным. Однако, как будет показано ниже, существует энергетическая характеристика, не зависящая от скорости наблюдателя и имеющая однозначный физический смысл.
Обозначим компоненты скорости наблюдателя через = (Δx>i/Δt). Тогда компоненты можно определить из (5.6):
· Δp = —ΔW = T(, Σ), (5.7)
или в компонентных обозначениях,
—ΔW = (Δx>i/Δt) L>2>┴>kΔt T(, ) = Δx>iL>2>┴>k, (5.8)
Устремляя интервал времени к нулю и воспользовавшись определением градиента, получим
—Ñ/L>2>┴>k = . (5.10)
Отметим, что, в отличие от величины энергии, зависящей от собственной скорости наблюдателя, значение градиента энергии Ñуже не зависит от его скорости, поскольку одно и то же смещение координаты наблюдателя Δx>i входит как в числитель (в выражение скорости), так и в знаменатель. В этом результате нет ничего удивительного, если вспомнить, что по своему определению градиент является линейным оператором, физический смысл которого не зависит от системы отсчета. При этом не имеет значения, о какой энергии идет речь — либо о полной энергии, распределенной в рассматриваемом элементарном объеме, включающей энергию покоя m>0c>2, как это принято, например, в релятивистской механике, либо только о кинетической энергии, как принято в классической механике. Можно даже произвольно выбрать уровень отсчета энергии, исходя из каких-то иных соображений — значение градиента энергии как объективно существующей физической характеристики при этом не изменится. Для определенности будем считать, что речь идет о полной энергии, содержащейся в объеме. Можно рассматривать и более сложные ситуации, когда отдельные составляющие энергетической структуры имеют градиент энергии относительно других составляющих (возможно, со своим градиентом), тогда записываются уравнения движения для каждой из них.
