Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [24]

Является ли единственным кратчайший путь между двумя европейскими столицами, например, между Лондоном и Парижем? Ответ на этот вопрос положителен: существует только одна геодезическая линия, соединяющая эти города. Аналогично, уникален ли маршрут между Северным и Южным полюсами? Здесь ответ отрицательный: существует бесконечное количество геодезических линий, соединяющих эти две точки, так как они диаметрально противоположны.

* * *

Мир сферических треугольников

Мир сферических треугольников иллюстрирует много математических свойств эллиптической геометрии. Поэтому стоит его рассмотреть подробнее. Для начала рассмотрим на сфере радиуса R сферический треугольник с вершинами А, В, С и сторонами а, Ь, с.

Сумма углов и сумма сторон сферического треугольника

Одним из результатов, о котором мы уже говорили, является тот факт, что сумма углов сферического треугольника больше 180°, или π радиан, и меньше 360° = 2π радиан. То есть

π < A + В + С < 2π.

Таким образом, можно сказать, что сумма сторон сферического треугольника удовлетворяет неравенству:

a + b + c < 2·π·R.

Площадь треугольника

Величина (А + В + С — 180°) называется сферическим избытком, так что площадь сферического треугольника S находится по следующей формуле:

где R — радиус сферы.

Следует отметить, что чем больше площадь треугольника, тем больше сумма его углов. Кроме того, чем больше площадь треугольника, тем больше сферический избыток, и именно поэтому больше значение А + В + С.

Длина окружности

В евклидовой геометрии имеется следующий результат: длина окружности радиуса r равна 2πr. В эллиптической геометрии этот результат выглядит следующим образом: длина окружности радиуса r всегда больше, чем 2πr.

* * *

ПЛОЩАДЬ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Давайте решим следующую задачу: какова должна быть площадь сферического треугольника на поверхности Земли, чтобы сумма его углов была больше 180° хотя бы на 1°? По формуле для площади сферического треугольника имеем:

Мы хотим найти значение S, такое что

Отсюда получаем

Выражая S и подставляя 6350 км вместо R, имеем

Следовательно, у любого треугольника на поверхности Земли, площадь которого равна или больше 703739,6319 км², сумма углов будет превышать 180° по крайней мере на 1°.

* * *

Теоремы синусов и косинусов

В сферической геометрии теоремы синусов и косинусов выглядят следующим об разом:

Теорема косинусов также работает после так называемой круговой перестановки (замены а на Ь, b на с и с на а).

Теорема Пифагора

И снова теорема Пифагора из евклидовой геометрии имеет свой аналог в другом геометрическом пространстве. Но в сферической геометрии теорема Пифагора ведет себя несколько иначе. В этой геометрии она формулируется следующим образом: пусть R — радиус сферы, с — гипотенуза, а и b — две другие стороны сферического треугольника, а угол С — прямой угол, тогда:

Для большей ясности это утверждение может быть выражено в словесной форме. И хотя оно совсем не напоминает оригинальную теорему Пифагора, мы сформулируем его в любом случае:

«В любом прямоугольном треугольнике на поверхности сферы радиуса R косинус отношения гипотенузы с к радиусу R равен произведению косинусов отношений других сторон к радиусу».

В следующей таблице сравниваются основные математические характеристики традиционной и сферической геометрий — самой простой версии эллиптической геометрии.

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

• Прямая линия является кратчайшей линией между двумя точками.

• Прямые линии бесконечны. Расстояние между двумя точками не ограничено.

• Существует только одна прямая линия, соединяющая две точки.

• Существуют прямые без общих точек, и они называются параллельными линиями.

• Две перпендикулярные прямые образуют четыре прямых угла.

• Треугольник имеет не более одного прямого угла.

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

• Геодезическая линия является кратчайшей линией между двумя точками.

• Геодезические линии имеют максимальную конечную длину, равную πR. Максимальное расстояние между двумя точками равно πR.

• Геодезическая линия будет единственной тогда и только тогда, когда две точки не являются диаметрально противоположными. В противном случае существует бесконечное число геодезических линий.

• Прямыми линиями являются большие круги, и они всегда пересекаются. Не существует параллельных линий в евклидовом смысле.

• Две перпендикулярные геодезические линии образуют 8 прямых углов.

• У сферического треугольника может быть 0, 1, 2 или даже 3 прямых угла.

Глава 7 Геометрия Земли

Рассмотрим две классические задачи, связанные с геометрией Земли. Они были сформулированы известным математиком и педагогом Дьёрдем Пойа (1887–1985). Первая — рассказ-шутка, но с математическим содержанием. Она известна как задача о полярном медведе.

«Смелый охотник, выйдя из лагеря, прошел 1 км на юг. Затем он прошел 1 км на восток. И в этот момент он увидел медведя, достал пистолет и выстрелил. Довольный своей добычей, охотник пошел на север и ровно через 1 км возвратился в лагерь. Какого цвета был медведь?»

Охотник двигался по дугам меридианов, когда шел на юг и на север. Идя на восток, он двигался по дуге параллели.