Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [23]

, называются меридианами, а точки А и В называются полюсами. Для каждой пары таких точек А и В существует один большой круг, перпендикулярный диаметру АОВ, который называется экватором.

Перпендикуляры к экватору — меридианы — можно наглядно представить. Достаточно рассмотреть очищенный мандарин. Линии, разделяющие дольки, будут пересекаться на полюсах.

Обратите внимание, что два больших круга делят поверхность шара на четыре части.

Три больших круга, которые не пересекаются в одной точке, делят поверхность сферы на восемь областей, называемых сферическими треугольниками.

Сферический треугольник также может быть определен как часть поверхности сферы, получаемая в результате пересечения трехгранника и сферы. Дуги на сфере между вершинами А, В и С называются сторонами треугольника.

* * *

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ТРЕХГРАННИКИ

Сферический треугольник определяется как часть поверхности сферы, ограниченная тремя большими кругами. Если вершинами такого треугольника являются точки А, В и С, то фигура, определенная точками А, В, С и центром сферы 0, называется трехгранником.

* * *

Внешняя поверхность долек мандарина образована двумя меридианами.

Таким образом, на следующем рисунке мы можем ввести такие обозначения: сторону ВС назовем буквой а, сторону АС — Ь, а сторону АВ — с. Буквы А, В и С также часто используются для обозначения внутренних углов сферического треугольника.

Выполним некоторые вычисления, используя нашу Землю в качестве модели. Для сферы существует несколько полезных формул. Пусть R обозначает радиус Земли, тогда объем (V) и площадь (S) Земли вычисляются следующим образом:

Если радиус Земли взять равным примерно 6350 км, тогда общая площадь Земли составит:

* * *

ГРАДУСЫ И РАДИАНЫ

Радиан определяется как величина центрального угла окружности, длина дуги которого равна радиусу окружности. Эта величина составляет примерно 55 градусов 17 минут и 44 секунды. Радиан (часто обозначаемый как рад, rad) используется в качестве единицы измерения так называемой «круговой меры угла». Если круговая мера угла в радианах равна а, то угол будет равен 180°·а/π градусов, и наоборот если угол равен G°, то круговая мера угла составит π·G/180 радиан.

То есть угол в 360° полной окружности составит 2·π радиан. В общем случае эти вычисления осуществляются следующим образом.

Если π радиан соответствует 180°, то R радиан соответствует G°, что дает нам следующую пропорцию: π/180 = R/G. Например, сколько радиан имеет угол в 30°? Подставляя в формулу, получим π/180 = R/30, откуда находим R:

R = (30·π/180) = π/6 рад.

Мы также можем решить обратную задачу. Сколько градусов имеет угол в π/4 радиан? Подставляя в формулу, получим

π/180 = (π/4)/G, откуда находим G:

G = ((π/4)·180)/π = 45°

* * *

Применим теперь формулу для объема и получим:

V = (4·π·6350³)/3 = 1,072499199·10¹²·км³

С этими результатами мы можем вычислить площадь октанта, одной восьмой части земной поверхности. Просто разделим значение площади Земли на 8. Это дает нам 63336566,88 км².

Как мы видим, каждый октант очерчивает сферический треугольник с углами 90° = π/2 радиан. Обратите внимание, что общая сумма составляет 270° = Зπ/2 радиан (то есть более чем 180° = π радиан). Тогда чему будет равна каждая из сторон?

Каждая из сторон представляет собой дугу большого круга. Используя формулу для длины дуги, получим:

(α·R) = (π/2)·6350 = 9 974,2625 км

Этот же результат можно получить и другим способом: разделить длину большого круга на четыре (напомним, что длина окружности составляет 2πR):

(2π·6350)/4 = 9974,2625 км.

Ясно, что ту же процедуру можно повторить для Луны, радиус которой равен 1736 км.

* * *

ДЛИНА ДУГИ КРУГОВОГО СЕКТОРА

Для части окружности с центром O и радиусом r, изображенной на рисунке, обозначим α угол, измеряемый, как правило, в радианах, а с — дугу между точками А и B. Тогда длина дуги выражается следующим образом: с = α·r.

Имея дело с длиной стороны сферического треугольника, мы обычно используем круговую меру угла, которую фактически нужно лишь умножить на радиус.

* * *

Вернемся к нашему общему вопросу. Геодезической линией называется кратчайшая линия, соединяющая две точки на поверхности и сама принадлежащая этой поверхности. На совершенно плоской, то есть евклидовой поверхности, геодезической линией является отрезок. Между двумя точками А и В на сферической поверхности из всех окружностей, проходящих через эти точки и расположенных на этой сфере, геодезической линией является большой круг. Другими словами, геодезическая линия получается путем пересечения сферы плоскостью АОВ. Таким образом, геодезическим отрезком между точками А и В является меньшая из дуг большого круга, проходящего через А и В. Обратите внимание, что случай с этим кругом — единственный, когда А и В не являются диаметрально противоположными точками.

В геометрии на сфере прямыми линиями являются дуги больших кругов. Таким образом, параллельные линии не существуют, так как большие круги всегда пересекаются в диаметрально противоположных точках. Для наглядности достаточно взглянуть на дольки очищенного апельсина.

* * *

ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ

Является ли единственным кратчайший путь между двумя европейскими столицами, например, между Лондоном и Парижем? Ответ на этот вопрос положителен: существует только одна геодезическая линия, соединяющая эти города. Аналогично, уникален ли маршрут между Северным и Южным полюсами? Здесь ответ отрицательный: существует бесконечное количество геодезических линий, соединяющих эти две точки, так как они диаметрально противоположны.