Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - [15]

* * *

РЕАЛЬНОСТЬ УДИВИТЕЛЬНЕЙ АБСТРАКЦИИ

В реальном мире тоже можно легко найти модели гиперболических поверхностей. Не стоит далеко ходить, достаточно рассмотреть в качестве гиперболической поверхности седло для верховой езды. Сумма углов любого треугольника, нарисованного на такой поверхности, составляет менее 180°, и параллельные линии здесь не находятся друг от друга на фиксированном расстоянии, а постепенно расходятся.

* * *

Такую поверхность можно увидеть в любом доме. В обычной спальне можно провести небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать, как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребуется кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставим подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положим тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Мы теперь видим, что поверхность уже не является плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.

* * *

ДРУГАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДРУГОЙ МИР

Раструб трубы представляет собой хорошую модель гиперболической поверхности. Можно ли на этой поверхности двигаться по прямой линии? Представьте себе, что два неевклидовых жителя трубы идут по направлению к раструбу. Внешний наблюдатель увидит, что их пути постепенно расходятся. Однако, жители гиперболического мира будут продолжать двигаться по строго параллельным линиям. Хотя для ученых эта воображаемая ситуация может показаться легкомысленной, реалии гиперболического мира оказываются увлекательной идеей для научной фантастики. О гиперболических мирах было написано множество романов, включая «Опрокинутый мир» Кристофера Приста.

* * *

Такая гиперболическая модель была предложена Альбертом Эйнштейном при определении пространства-времени. Вселенная Эйнштейна четырехмерная, так как она содержит три пространственных координаты и четвертую координату — время (позже мы расскажем об этом подробнее). Человек не может воспринимать четырехмерную вселенную, поэтому трудно перенести модель с предметами на кровати (это лишь трехмерные объекты) в четырехмерное пространство. Однако мы можем представить, что произойдет. Как и в других областях математики, людям приходится полагаться на воображение и ум.

В 1870 г. немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) представил еще одну модель гиперболической геометрии на плоскости, а затем обобщил ее для пространства. В своей модели Клейн рассмотрел обычный евклидов круг и предложил новые определения точки, прямой, параллельной линии и так далее. Он назвал внутренность круга плоскостью, точки определил как обычные точки внутри круга, за исключением лежащих на окружности, и прямыми линиями назвал хорды круга, но не включающие концов, то есть без точек на окружности. (Напомним, что хордой круга называется отрезок, концы которого лежат на окружности.) Кроме того, параллельными прямыми он называл хорды с одним общим концом. Пересекающимися линиями назывались те, что пересекаются внутри круга, а если линии пересекаются вне круга, то они назывались непересекающимися.

В этой модели, то есть когда плоскостью является только внутренность круга, а хорды являются прямыми линиями, мы видим, что прямые r, s и l проходят через точку вне прямой l и не пересекаются с прямой l в неевклидовом смысле, так как они не пересекаются с прямой l внутри круга. Таким образом, в этой модели через точку вне прямой можно провести бесконечное число линий, не пересекающихся с данной прямой.

Клейн показал, что геометрия в его круге эквивалентна гиперболической геометрии, то есть его геометрия удовлетворяет всем аксиомам Евклида, кроме пятого постулата, и сохраняет все результаты гиперболической геометрии.

* * *

ПРЕДЕЛ — КРУГ IV

Этот рисунок Маурица Корнелиса Эшера (1898–1972) имеет альтернативное название «Ад и рай». На нем ангелы и демоны изображены в виде мозаики, так что пространство между фигурами одного вида образует фигуры другого вида. Еще один замечательный факт: фигуры становятся все меньше и меньше по мере приближения к краю круга, как будто уходят в бесконечность. Эшер создал этот рисунок, чтобы изобразить поверхность, невозможную в двух измерениях. Свойства этого пространства знакомят нас с неевклидовой гиперболической геометрией.

* * *

Риман и эллиптическая геометрия

Вскоре после того как Лобачевский и Бойяи построили новую геометрию, появилась другая неевклидова геометрия. Ее создал известный немецкий математик Бернхард Риман, который заменил пятый постулат Евклида другой аксиомой:

«Через точку Р, не лежащую на данной прямой l, не проходит ни одной прямой, параллельной данной».

Бернхард Риман (1826–1866) родился в Ганновере и уже в юном возрасте был математически одаренным ребенком. В 16 лет, учась в Люнебургской гимназии, он проявил большие математические способности, и директор школы разрешал мальчику брать из своей личной библиотеки книги по математике. В 1846 г. Риман поступил в Гёттингенский университет, где изучал теологию по совету своего отца. Однако, в конце концов он перешел на философский факультет, где также преподавалась математика. Его учителями были такие светила, как Мориц Штерн и сам Гаусс.