Код. Тайный язык информатики - [26]

Глава 10 Логика и переключатели

Что есть истина? Аристотель полагал, что она как-то связана с логикой. Сборник его сочинений под названием «Органон» (датируемый IV веком до н. э.) — самое раннее произведение, где подробно освещается эта тема. Для древних греков логика — средство анализа языка c целью нахождения истины, поэтому она считалась формой философии. Основа логики Аристотеля — силлогизм. Самый известный силлогизм (который фактически отсутствует в работах Аристотеля) формулируется так:

Все люди смертны;

Сократ — человек;

следовательно, Сократ смертен.

В силлогизме из двух считающихся истинными предпосылок выводится заключение.

Смертность Сократа может показаться достаточно очевидной, однако существует множество разнообразных силлогизмов. Рассмотрим следующие две предпосылки, которые предложил математик XIX века Чарльз Доджсон, известный как Льюис Кэрролл:

Все философы логичны;

нелогичный человек всегда упрям.

В данном случае вывод не очевиден. Он формулируется так: «Некоторые упрямые люди не являются философами». Обратите внимание на неожиданное и привносящее неопределенность слово «некоторые».

На протяжении более двух тысяч лет математики боролись с логикой Аристотеля, пытаясь укротить ее с помощью математических символов и операторов. До XIX века ближе всех к решению этой задачи удалось подойти только Готфриду Вильгельму фон Лейбницу (1646–1716), который занимался логикой в молодости, а затем заинтересовался иными вещами, например одновременно с Исааком Ньютоном разработал дифференциальное исчисление (независимо от него)[15]. Затем на сцену вышел Джордж Буль.

Джордж Буль родился в 1815 году в Англии в социуме, где его шансы на успех были очень малы. Поскольку он был сыном башмачника и бывшей горничной, его перспективы не сильно отличались от перспектив его предков по причине жесткой классовой иерархии британского общества. Однако благодаря своему пытливому уму и отцу, который интересовался наукой, математикой и литературой, молодой Джордж получил образование, как правило являющееся привилегией мальчиков из высших классов общества. Он изучал латынь, греческий язык и математику. Ранние работы Буля по математике позволили ему в 1849 году стать первым профессором математики в Королевском колледже Корка.

Несколько математиков в середине 1800-х годов работали над формальным определением логики (среди них особо выделялся Огастес де Морган). Однако именно Буль совершил настоящий концептуальный прорыв: сначала в короткой книге «Математический анализ логики, или Очерк исчисления дедуктивных умозаключений» (1847), затем в гораздо более объемном и амбициозном произведении «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854), которое кратко также называется «Исследование законов мышления». Буль умер в 1864 году в возрасте 49 лет от пневмонии, которую он подхватил, попав под дождь по дороге на лекцию.

Название книги Буля 1854 года говорит о постановке амбициозной задачи: поскольку мозг разумного человека мыслит, используя логику, то, найдя способ математического представления логики, мы получим математическое описание того, как работает мозг. Разумеется, в наше время такое видение кажется весьма наивным (или просто оно значительно опережает свое время).

Изобретенная Булем алгебра очень похожа на обычную. В обычной алгебре операнды (обычно буквы) обозначают цифры, а операторы (например, «+» и «×») указывают, как эти числа должны объединяться. Как правило, мы используем обычную алгебру для решения таких задач: у Ани есть три яблока. У Бетти в два раза больше яблок, чем у Ани. У Кармен на пять яблок больше, чем у Бетти. У Дейрдре в три раза больше яблок, чем у Кармен. Сколько яблок у Дейрдре?

Чтобы решить эту задачу, сначала преобразуем ее в арифметические выражения, используя четыре буквы, соответствующие количеству яблок, имеющихся у каждой из четырех женщин:

A = 3;

Б = 2 × A;

К = Б + 5;

Д = 3 × К.

Мы можем объединить эти четыре выражения в одно путем подстановки, а затем уже выполнить операции сложения и умножения:

Д = 3 × К;

Д = 3 × (Б + 5);

Д = 3 × ((2 × А) + 5);

Д = 3 × ((2 × 3) + 5);

Д = 33.

Имея дело с обычной алгеброй, мы следуем определенным правилам. Эти правила настолько укоренились в практике, что мы больше не думаем о них как о правилах и даже иногда забываем их названия. Однако любая форма математики подчиняется им.

Первое правило заключается в том, что сложение и умножение являются коммутативными операциями. Это означает, что можно менять операнды местами в обеих частях выражения, не влияя на результат:

A + B = B + A;

A × B = B × A.

Напротив, операции вычитания и деления не являются коммутативными.

Сложение и умножение — ассоциативные операции, то есть:

A + (B + C) = (A + B) + C;

A × (B × C) = (A × B) × C.

Наконец, умножение дистрибутивно по отношению к сложению:

A × (B + C) = (A × B) + (A × C).

Другой характеристикой обычной алгебры является то, что она всегда оперирует числами, например килограммами сыра, количеством уток, расстоянием, которое прошел поезд, или возрастом членов семьи. Гений Буля сделал алгебру более абстрактной, отделив ее от концепции числа. В булевой алгебре (именно такое название получила алгебра Буля) операнды относятся не к числам, а к