Хаос и структура - [317]
Простейший пример:
Здесь χ—аргумент, у—функция, у' — первая производная, х>0 и x>1 —крайние пределы изменения значений аргумента. Вариационное исчисление ставит своею целью нахождение условий для максимума и минимума определенного интеграла I, когда y=f(x) сама меняется по своему виду. Тут исследуют: при какой зависимости у от х, входящей в состав подынтегральной функции, данный интеграл будет иметь максимальное или минимальное значение? В дифференциальном исчислении в учении о maxi[mu]m и minim [um] вопрос ставится так: при каком значении χ функция у достигает максимума или минимума (причем это значение находится из наблюдения за поведением производных)? В вариационном исчислении не только все исследование совершается в направлении, обратном дифференциальному исчислению (как это и вообще в интегральном исчислении), но, кроме того, в этом обратном направлении путь совершается не только от производной, но еще и от ее связанности с другими действиями, так что лучше уже говорить, — от новой функции, куда производная входит лишь как составной элемент, да еще в этой функции содержится вариируемая первообразная функция, т. е. функция, изменяющаяся в своей структуре. Получаемый таким способом интеграл несет на себе энергию определенности области изменения аргумента, энергию самостоятельной определенности, зависящей от этого аргумента функции, и, наконец, энергию изменений структурной определенности функции.
МАТЕМАТИКА И ДИАЛЕКТИКА.
Философия есть такое знание, которое, хотя и не сводится на совокупность прочих наук, все–таки касается решительно всякой науки, и для всякой науки у нее готовы логические предписания, которые она довольно бесцеремонно диктует и требует безоговорочного признания. Хорошо это или плохо, я не знаю; но я знаю, что современная математика, несомненно, выиграла бы, если бы ее работники немного более чутко и внимательно относились к философии и логике. Присматриваясь к некоторым построениям современных математиков, с удивлением замечаешь, что под ворохом всяких обозначений, символов, значков и страшных, пугающих терминов, что математики любят нагромождать выше всякой меры, кроются самые элементарные и примитивные проблемы, которые в философии давным–давно или решены, или решались. Если бы нашелся светлый ум, который бы сумел выразить некоторые математические теоремы без всей этой удручающей суеты значков и обязательного стремления свести все на «формулы», то философски грамотный читатель поразился бы той близостью и даже тождеством проблем, которыми всегда занимались и занимаются философы и математики. В настоящей статье я хочу приоткрыть для философов одну такую область математики и показать, что здесь ставятся и решаются как раз те самые вопросы, которые интересовали всегда и философов и которые решаются всяким философом, если он задался целью дать строгую и систематическую разработку логики. Эта математическая наука есть учение о трансфинитных числах, или, общее, учение о множествах. Однако я бы уклонился от простой логической интерпретации учения о множествах. Я преследую задачу несколько более трудную и ответственную и хочу дать не просто интерпретацию, но и тот метод решения проблем учения о трансфинитах, который, как я убедился, чужд современным математикам и игнорирование которого приводит их к тяжкому тупику «противоречий» и «парадоксов», заставляющему многих унывать и сетовать на ограниченность человеческого знания. Что человек знает маловато и что каждую крупинку знания приходится брать с бою, — это давно известно и против этого трудно спорить. Но раз мы уж решились обнять умом такие понятия, как «бесконечность», «предел», «трансфинитное число» и т. д. и т. д., то уж унывать нечего. Или вообще надо бросить заниматься математикой, или, если заниматься, то надо доводить ее до конца и не считать «парадоксы» каким–то провиденциальным пределом, запрещающим переходить в царство полного знания. Математики оперируют «бесконечностями» так, как, может быть, иной не оперирует своими ногами, чтобы ходить, или руками, чтобы работать. И раз хватило смелости «обнять необъятное», то давайте уж обнимать до конца и давайте ставить все точки над чтобы уяснить себе, наконец, полную логическую природу бесконечного.
Я утверждаю, что единственный метод, способный дать мысли полное овладение категорией бесконечности и категорией «множества», есть диалектический метод. И я покажу, как философ чисто диалектически выводит из первоначальных принципов то же самое, что математик находит постепенно и несистематично, барахтаясь в бездне математических построений и прибегая к единственному средству обобщения—к своеобразной индукции над эмпирически наблюдаемым логическим материалом. Мы увидим, как учение о трансфинитах с необходимостью, но уже строго систематически вытекает из основ мысли как таковой и как тут, в диалектике, мы сразу получаем метод для построения сначала аксиоматики, а потом и конкретного содержания всякой математической науки.
Для этого попробуем сначала формулировать основы диалектического метода вообще. И прежде всего необходимо сказать, что не есть диалектика.
