Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс - [19]

33. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника. (2)

34. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. (2)

35. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG? (2)

36. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников. (3)

1.4. Задачи на трапецию

При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения:

1)

где а, b – длины оснований, h – высота трапеции;

2) Если около трапеции ABCD можно описать окружность, то она равнобокая. Если при этом требуется найти радиус этой окружности, то он совпадает с радиусом окружности, описанной около любого из треугольников: ABC, ABD, ACD, BCD.

3) Если в трапецию ABCD вписана окружность, то AB + CD = BC + AD.

4) Трапецию принято изображать как на рис. 143.

Рис. 143.

При нижнем основании оба угла – острые, но она может выглядеть и как на рис. 144.

Рис. 144.

Поэтому, например, задача «Одно из оснований трапеции равно 6, боковые стороны трапеции равны ?5 и ?13. Высота трапеции равна 2. Найдите площадь трапеции» имеет 4 решения:16, 14, 10 и 8.

Примеры решения задач

37. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Найдите длины этих отрезков, если AD = 19, ВС = 7 (рис. 145). (1)

Рис. 145.

Решение. Так как трапеция равнобокая, то треугольники АВК и CLD равны. В самом деле, АВ = CD по условию, ВК = CL как высоты трапеции. Значит, прямоугольные треугольники АВК и CLD равны по гипотенузе и катету. Так как KBCL – прямоугольник, то KL = ВС = 7; АК + LD = AD – KL = 19 – 7 = 12; AK = LD = 6.

Ответ: 6; 6.

38. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции (рис. 146). (1)

Рис. 146.

Решение. Построим трапецию ABCD и проведём высоты ВК и СМ. Из прямоугольного ?АВК находим:

Из прямоугольного ?CMD получаем:

Ответ: 4?3 см; 6?2 см.

39. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции. (2)

Рис. 147.

Решение. Рассмотрим трапеции EBCF и AEFD (рис. 147). Введем обозначения: AD = х, ВС = у; высоты трапеций EBCF и AEFD обозначим через h. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции, то

Отсюда

Из свойства средней линии трапеции:

Таким образом, получаем систему уравнений:

Ответ: 5; 15.

40. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, b = 9 и высота h = 8. Найдите длину описанной около трапеции окружности (рис. 148; окружность на рисунке не показана). (2)

Рис. 148.

Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Так как АВ = CD, то

Из ?АВК по теореме Пифагора получаем:

тогда

KD = KM + MD = 9 + 6 = 15. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем:

Отсюда

или

Длина окружности

Ответ: 85?/4.

41. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN (рис. 149). (2)

Рис. 149.

Решение: Из условия задачи следует, что угол NMQ острый. Пусть QK – высота треугольника MNQ. По условию LN ? MN и LN ? LQ, следовательно, MN||LQ и LN||QK, т. е. четырёхугольник KNLQ – параллелограмм. Тогда QK = LN и NK = LQ. Имеем, пользуясь условием задачи: QK = LN = LQ – 2, КМ = NM – NK = 2LQ – LQ = LQ. В прямоугольном треугольнике QKM отрезки QK и КМ являются катетами, следовательно,

и, значит, LQ – 2 = 2/3 LQ, откуда LQ = 6 и LN = 4. Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим:

Ответ:

42. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника, ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3. (рис. 150). (3)

Рис. 150.

Решение. Обозначим через h длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины В на продолжение стороны АС. Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем:

Из полученных равенств находим:

В треугольниках ABE и CED равны величины соответствующих углов (?АЕВ = ?CED, ?ABE = ?CDE). Значит, эти треугольники подобны и

Теперь из (1) и (2) находим, что

Треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Поскольку АВ||CD, то их высоты, опущенные соответственно из вершин С и D, имеют равную величину. Поэтому

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

43. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее основания равны 12 и 4 см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол в 45°. (1)