Геометрия, динамика, вселенная - [11]

И еще одно замечание. Ранее отмечалось, что характеристика неевклидовости двумерных плоскостей отклонение суммы углов треугольника от π. Говоря о проведении треугольника на произвольной поверхности, мы молчаливо подразумевали возможность единственного проведения прямых на поверхности в смысле Евклида (прямая — кратчайшее расстояние). Однако в общем случае между двумя точками поверхности можно провести несколько кратчайших расстояний. Эта неоднозначность устраняется, если выбирается достаточно малый участок поверхности.

Отметим (ввиду важности утверждения) снова, что в малом участке можно определить евклидову систему отсчета. В малом для гладких поверхностей имеет смысл понятие вектора и векторного произведения, инвариантного относительно трансляций и поворотов в пределах малого участка. Но в отличие от евклидова пространства, в котором существует глобальная система координат, обладающая подобными свойствами, в общем случае существование евклидовой системы возможно лишь в малом. По существу это утверждение имеет простой наглядный (геометрический) смысл. Гладкую поверхность можно аппроксимировать бесконечным набором примыкающих малых плоскостей, расположенных друг относительно друга под определенными углами. Характеристики взаиморасположения микроплоскостей кривизны или связности понятия, которые целесообразно рассмотреть в следующем разделе.

Последние рассуждения прямо относились к двумерным поверхностям. Однако в рамках аналитической или дифференциальной геометрии, когда свойства пространств определяются числами (координатами или величинами компонент метрического тензора или кривизны), можно с равным успехом проводить анализ поверхностей любой целочисленной размерности. Методы аналитической и дифференциальной геометрии позволяют представить геометрические фигуры в безликих арифметических терминах, и нет нужды «воображать» сами поверхности.

Возможность оперировать с поверхностями (пространствами) произвольной размерности исключительно важна для понимания свойств и характеристик физического пространства (об этом речь пойдет в следующих главах).

В заключение еще одно замечание. Утверждение, что локально поверхность эквивалентна евклидову пространству, означает, что в любой точке интервал можно привести к виду

N

— ds**2 = > dx|**2 (8)

— i

i=1

Такие поверхности называются римановыми и обладают свойством ds**2 > 0 (положительно определенная матрица).

Теория относительности внесла коррективы в это определение. Эта теория выдвинула идею нового типа пространств — пространств Минковского когда интервал ds**2 может иметь оба знака (ds**2 ≥ 0 или ds**2 ≤ 0), метрика таких пространств называется индефинитной, а сами пространства псевдоевклидовыми.

Метрика псевдоевклидовых пространств размерности N имеет вид:

N| N|

1 2

- — ds**2 = > dx|**2 — > dx|**2 (9)

— i — k

i=1 k=1

причем N|+N|=N. Обобщением псевдоевклидова пространства

1 2 является псевдориманово пространство, которое локально представляется псевдоевклидовой метрикой.

7. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Уже упоминалось ранее, что точка иногда определяется как геометрический объект, не имеющий протяженности. Поэтому напрашивался вывод, что точка в таком понимании не имеет структуры. Однако критический анализ основных понятий геометрии, а также внутренние, имманентные законы развития дифференциальной геометрии стимулировали создание и развитие нового математического образа — расслоенного пространства. Первые работы, в которых формировались основные понятия расслоенных пространств и их связи с другими разделами математики, относятся к 30 — 50-м годам и принадлежат выдающимся математикам: Э.Картану, Х.Уитни, Ш.Эресману, Ш.Черну.

Вначале казалось, что этой новой ветви математики уготована участь многих ее разделов: служить красивой абстракцией, не связанной с физической реальностью. Основания для подобных прогнозов были. Фундаментальное понятие точки у расслоенных пространств отличалось от интуитивного образа бесструктурной точки. Однако эволюция физики, и в первую очередь квантовой теории поля, физики элементарных частиц и космологии, привела к сближению представлений о точках в физике и расслоенных пространствах. Постепенно начал вырисовываться абрис синтеза фундаментальной физики и геометрии на базе расслоенных пространств. По нашему мнению, можно высказать и более сильное утверждение: существует «истинное» физическое пространство, которое реализуется в терминах расслоенных пространств.

Если такая несколько претенциозная формулировка выглядит экстремистской, то более ограниченное утверждение: объединенная теория взаимодействий допускает геометрическую интерпретацию на базы расслоенных пространств — кажется бесспорным. Необходимость такого заключения оказалась для физики несколько неожиданной. Даже творцы теории элементарных частиц оказались неподготовленными к вторжению математики расслоенных пространств в физику. В этом аспекте характерен диалог физика Ч.Янга с одним из основоположников геометрии расслоенных пространств Ш.Черном.

Янг: «Это (расслоенные пространства. — И.Р.) приводит в трепет и изумление, поскольку вы, математики, выдумали эти понятия из ничего».