Газета "Своими Именами" №18 от 21.12.2010 - [19]

Правда, в нестандартный анализ подобные бесконечно малые числа вводятся аксиоматически. Причём совокупность аксиом такого анализа столь же непротиворечива, что и классического. Увы, и столь же неполна в смысле К. Гёделя.

Не ясна природа (да и само существование) трудной обратимости или вычислимости даже для конечных алгебраических структур (типа полей Э. Галуа), к которым теорема К.Гёделя, вроде бы, неприменима.

Непонятно и является ли обращение близкой к вырожденной матрицы труднообратимым преобразованием или нет. И это тогда, как взлом шифра часто приводит именно к таким матрицам, к тому же очень большого размера.

Ещё одна и, возможно, самая важная особенность подобных матриц в том, что они сами и им обратные состоят только из целых чисел (типично 0 и 1), а все операции производятся по модулю соответствующего числа (обычно 2). Иначе говоря, используется модульная арифметика. Проблема вырожденности и обратимости при этом принимает весьма специфическую форму, т.к. ошибки округления здесь полностью отсутствуют, а потому и само понятие обратимости принимает другой смысл.

О связи труднообратимых и трудноразрешимых задач говорит пример точных вычислений корней алгебраических уравнений со многими тысячами и даже десятками тысяч двоичных (или десятичных) знаков. Действительно, если мы умеем эффективно производить такие вычисления, то соответствующая последовательность бит может служить неплохой гаммой шифра. Трудоёмкость обратимости в этом случае связана с необходимостью перебора великого множества алгебраических уравнений с разнообразными коэффициентами в поисках использованного для зашифровывания.

Для быстродействующего аналогового вычислителя очень высокой точности, например, молекулярного, последняя задача перестаёт быть трудноразрешимой. Но такие автоматы ещё не построены, а сделанное замечание имеет тот смысл, что трудная или, напротив, лёгкая вычислимость сегодня относится лишь к базовым операциям дискретных (цифровых) вычислителей и определяется длительностью и числом тактов, необходимых для получения результата.

Возможно при этом, что между длительностью операции и числом необходимых тактов для получения результата существует некоторая зависимость вроде злополучного соотношения неопределённостей волновой механики, в том или ином виде (например, в виде точности вычислений) распространяющаяся и на аналоговые вычислители. Насколько мне известно, такие вопросы в математике вообще, и в криптографии в частности, не только не рассматривались, но даже и не ставились.

Вместе с тем, мы не располагаем никакими доказательствами в пользу того, что окружающий нас мир является строго дискретным (цифровым) или строго непрерывным (аналоговым). Это не свойство мира, а только свойство отображения мира, присущее нашему сознанию в связи с его телесной организацией, что и определяется терминами “очевидно” и “не очевидно”. И то, что для одного является “очевидным”, для другого вовсе не обязано быть таковым, что подчёркивает субъективный характер любого нематериального феномена, включая и информационный.

Кстати, наличие “очевидного” и “не очевидного” совершенно обязательно для “взлома” шифра. Иначе у нас просто не будет никакого критерия выбора того или иного варианта расшифровки среди множества возможных, включая и взаимоисключающие. Классический пример - “КАЗНИТЬ, НЕЛЬЗЯ ПОМИЛОВАТЬ” и “КАЗНИТЬ НЕЛЬЗЯ, ПОМИЛОВАТЬ” из “Страны невыученных уроков” волшебного происшествия Л.Гераскиной. Ранее это было названо избыточностью.

Так зачем всё же изобретают шифры? Из сказанного выше следует, что, во-первых, это некоторая игра ума вроде проблемы А.Л. Пуанкаре и, во-вторых, направление решения некоторых практических задач “защиты информации” (на самом деле данных), но только той (или тех), которую(ые) можно или нужно скрыть от кого-то или от чего-то. Если “информация” (опять же “данные”) интереса не представляет, то её нечего и скрывать, например, как набившая оскомину реклама. (Реклама не является информацией, понять её невозможно, какое бы усилие воли к тому ни прилагалось.) Соответственно не скрывают и “информацию” (данные), которые невозможно скрыть или украсть. Попробуйте-ка скрыть или украсть, скажем, месяц, как то проделывал гоголевский чёрт в “Вечерах на хуторе близ Диканьки” в предновогоднюю ночь.

Возможен и ещё один ответ - “шифры изобретают для того, чтобы их ломать”. Вполне допускаю, что “взлом” можно рассматривать и как некоторую увлекательную для незаурядного ума задачку вроде разгадывания кроссворда для ума заурядного. А разработка автоматических методов “взлома” шифров может представить интерес, скажем, для компьютерных вирусологов. Но, в таком случае, разработка самих шифров должна стать одним из направлений деятельности вирусмэйкеров (вирусописателей).

Вообще-то, в природе всё динамично, а является ли что-то положительным или отрицательным определяет сама природа, а не дяди, но теперь больше тёти с двойным интеллектом, выносящие решения “именем Российской Федерации” (*) .

Реклама в метро предлагает “займись спортом, найди интересную работу или создай семью” (молодым). Не получится - наймись ишачить на “эффективного” собственника (нажившего собственность отнюдь не трудовым путём) или стань (не имея ни гроша за душой) таковым сам (для лиц среднего возраста).