Фрактальная геометрия природы - [17]

ЭФФЕКТ РИЧАРДСОНА

Эмпирическое исследование изменения приблизительной длины L(ε), получаемой с помощью Метода А, описано в статье Ричардсона [494], ссылка на которую по счастливой (или роковой) случайности попала мне на глаза. Я обратил на нее внимание только потому, что я был наслышан о Льюисе Фрае Ричардсоне как о выдающемся ученом, оригинальность мышления которого была сродни эксцентричности (см. главу 40). Как мы увидим в главе 10, человечество обязано ему некоторыми наиболее глубокими и долговечными идеями относительно природы турбулентности — особого внимания среди них заслуживает та, согласно которой турбулентность предполагает возникновение самоподобного каскада. Он также занимался и другими сложными проблемами — такими, например, как природа вооруженного конфликта между государствами. Его опыты являли собой образец классической простоты, однако он, если возникала такая необходимость, не колеблясь пользовался и более утонченными концепциями.

Приведенные на рис. 57 графики, обнаруженные уже после смерти Ричардсона среди его бумаг, были опубликованы в чуть ли не секретном (и совершенно не подходящем для таких публикаций) «Ежегоднике по общим системам». Рассмотрев эти графики, мы приходим к заключению, что существуют две постоянные (назовем их λ и D) — такие, что для определения длины береговой линии посредством построения приближенной к ней ломаной необходимо взять примерно Fε^−D интервалов длины ε и записать следующую формулу:

L(ε)~Fε^1−D.

Значение показателя D зависит, по всей видимости, от характера измеряемой береговой линии, причем различные участки этой линии, рассматриваемые по отдельности, могут дать различные D. Для Ричардсона величина D была просто удобным показателем, не имеющим какого-либо особенного смысла. Однако похоже, что значение этого показателя не зависит от выбранного метода оценки длины береговой линии. А значит, он заслуживает самого пристального внимания.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ [356]

Изучив работу Ричардсона, я предположил [356], что хотя показатель D не является целым числом, его можно и нужно понимать как размерность — точнее, как фрактальную размерность. Разумеется, я вполне осознавал, что все вышеперечисленные методы измерения L(ε) базируются на нестандартных обобщенных определениях размерности, уже применяемых в чистой математике. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии наименьшим числом пятен радиуса ε, используется в [481] для определения размерности покрытия. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии лентой шириной 2ε, воплощает идею Кантора и Минковского (см. рис. 56), а соответствующей размерностью мы обязаны Булигану. Однако эти два примера лишь намекают на существование многих размерностей (большинство из которых известны лишь немногим специалистам), которые блистают в различных узкоспециализированных областях математики. Некоторые из этих размерностей мы обсудим более подробно в главе 39.

Зачем математикам понадобилось вводить это изобилие различных размерностей? Затем, что в определенных случаях они принимают различные значения. К счастью, с такими случаями вы в этом эссе не встретитесь, поэтому список возможных альтернативных размерностей можно с чистой совестью сократить до двух, о которых я, правда, еще не упоминал. Старейшая и подробнее исследованная размерность из нашего списка восходит еще к Хаусдорфу и служит для определения фрактальной размерности — очень скоро мы ею займемся. Вторая, более простая, размерность называется размерностью подобия: она носит не такой общий характер, как первая размерность, однако оказывается более чем адекватной во многих случаях — ее мы рассмотрим в следующей главе.

Разумеется, я не собираюсь приводить здесь математическое доказательство того, что показатель Ричардсона D является размерностью. Честно говоря, я не представляю, как можно провести такое доказательство в рамках какой бы то ни было естественной науки. Я хочу лишь обратить внимание читателя на тот факт, что понятие длины ставит перед нами концептуальную задачу, а показатель D предоставляет удобное и изящное решение. Теперь, когда фрактальная размерность заняла свое место в изучении береговых линий, вряд мы захотим, из каких бы то ни было особенных соображений, возвращаться к тем временам, когда мы бездумно и наивно полагали D=1. Тому, кто все еще считает D=1, придется теперь постараться, если он пожелает доказать свою правоту.

Следующий шаг — объяснение формы береговых линий и выведение значения D из других, более фундаментальных соображений — я предлагаю отложить до главы 28. На этом этапе достаточно сказать, что в первом приближении D=3/2. Это значение слишком велико, чтобы верно описывать факты, однако его более чем достаточно для того, чтобы мы могли заявить: можно, должно и естественно полагать, что размерность береговой линии превосходит обычное евклидово значение для кривой D=1.

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ХАУСДОРФА

Если согласиться с тем, что различные естественные береговые линии обладают бесконечной длиной, а также с тем, что значение длины, основанное на антропометрической величине