Философы Древней Греции - [86]

6 Очень ясно сформулированную оценку фундаментальной математики и ее открытия Пифагором см. в книге W h i t e h e a d A.N. Science and the Modern World. Работа Нойгебауэра (см. выше, глава I, пункт 7) немного изменяет наше мнение, что греки создали математику из ничего, но точка зрения Клэджетта и Самбурского, хотя эти двое должным образом учитывают новые открытия, как мне кажется, в основном совпадает с позицией Уайтхеда.

7 Heath Т. History (Т. Хит). См. также его издание «Элементов» Евклида в 3 томах. Во времена Платона уже существовали книги об «элементах геометрии», и Хит считает методы доказательства теорем I–V Евклида строго пифагорейскими. В этой и последующих главах греки показаны больше сделавшими для разработки формальной логики и больше ценившими аксиомо-дедуктивный метод формулирования доказательств, чем считали многие историки. Доводы против точки зрения, что до Аристотеля «логика» была примитивной и аморфной, как еще считают некоторые выдающиеся ученые нашего времени, см. в: S p r a g u e K.K. Plato's Use of Fallacy (К. Спрэг) и в моем кратком изложении аргументации Платона из его «Парменида» (Plato on the One).

8 Хотя пифагорейцы сознательно отрицали существование каких-либо четких границ между фундаментальной математикой, прикладной математикой, физикой и философией, они также иногда создавали достаточно впечатляющие и строго гипотетически-дедуктивные доказательства. Хорошим примером этого может служить сохраненное для потомства в общих чертах Аристотелем косвенное доказательство того, что квадратный корень из двух является иррациональным числом.

См. книгу H e a t h Т. Mathematics in Aristotle и History of Greek Mathematics I.

9 В современной формальной логике реальность абстрактных сущностей остается темой для споров (центром которых часто становится профессиональный терминологический вопрос о том, имеет ли по-настоящему смысл оперировать терминами «существования» («существует такой__ __, что__ _»), подставляя на места, отмеченные здесь чертой, названия абстрактных свойств или классов. См.: Quine W.V. Mathematical Logic (В. Квин) и Korner S. The Philosophy of Mathematics (С. Кернер).

10 Например, есть сведения о том, что в начальный период существования школы Пифагора пифагорейцы связывали геометрические формы известных им «правильных тел» со свойствами земли, огня и воды. Эта геометрическая молекулярная теория гораздо позже получила полное развитие у Платона. Но и мысль, что природа предпочитает симметрию, и мысль, что такие качественные различия, как те, которые существуют между землей и огнем, возможно, объясняются различием в форме частиц, – обе эти мысли могли возникнуть еще во времена самого Пифагора и иметь какое-то экспериментальное подтверждение. Ridgeway W. (У. Риджуэй) в статье What Led

Pythagoras to the Doctrine that the World was Built of Numbers? сопоставил свидетельства древних о том, что Пифагор сам был резчиком по драгоценным камням, и тот факт, что некоторые хорошо известные людям кристаллы по своей геометрической форме – правильные тела, и предположил, что форма этих кристаллов могла подсказать Пифагору его математический взгляд на природу. Конечно, это не может быть единственным и достаточным объяснением идей Пифагора, но связь между ними и формами кристаллов кажется вполне вероятной. Риджуэй упоминает о пирамидах и двойных пирамидах кварца, кубиках железного колчедана и свинцового блеска, двенадцатигранных кристаллах граната и шестигранных цилиндрических кристаллах берилла. Предположение, что эти случаи симметрии в природе были известны пифагорейцам и, возможно, повлияли на их взгляды, становится, по-моему, еще правдоподобнее, если вспомнить, что в число инструментов резчика по драгоценным камням могли входить увеличительные линзы из кристаллов.

11 Арифметика в том ее понимании, которое существовало в эллинистическую эпоху и в Средние века, находилась еще очень близко от этого пифагорейского подхода к числам; ср.: N i c o m a c h u s. Introduction to Arithmetics (Никомахус). Сложность оценки, которую Аристотель дает пифагорейской арифметике, не в том, что Аристотель плохо разбирался в математике (в случае необходимости он проявлял себя достаточно компетентным в этой области). Дело в другом: Аристотель, считавший, что математика должна быть только совокупностью технических приемов, применял эту свою точку зрения к более ранней эпохе, когда эту науку представляли себе совершенно иначе. Об этом см.: B г u m b a u g h R.S. Plato's Mathematical Imagination (Р. Брамбо).

12 Об этом представлении, что числа могут иметь качественные признаки, см.: Freeman. Companion. Даже сейчас, когда мы привыкли думать о числах просто как о знаках, которыми удобно пользоваться, когда выполняешь вычисления, некоторые поэты (и не только поэты) обладают «пифагорейской синестезией» – способностью ассоциировать некоторые качества с теми или иными числами (обычно эти ассоциации одинаковы у разных людей). Но этот подход быстро привел к экстравагантной «магии чисел», которая сродни скорее литературе, чем науке; тому, кто хочет увидеть пример этой магии, советую прочесть компиляцию из работ неопифагорейцев и неоплатоников в книге: T a y l o r T.