Философия и логика времени, или О неполноте сознания - [35]

Унитарная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца O(1, 3). Это связано с тем, что кватернионы, рассматриваемые как алгебра над множеством действительных чисел, образуют 4-мерное вещественное векторное пространство, позволяющее получить метрику Лоренца (2.1), которая имеет сингулярность в пределе (4.9). Условие нормировки мы выразили фильтрацией (4.10). Математически замечательным здесь оказывается то, что если ввести унитарную норму на факторизованном пространстве Минковского M/t, подобную норме в комплексной плоскости КМ, то произойдет неявным образом переход к дискретной метрике, при которой континуальные дифференциалы метрики Лоренца действительно станут физическими квантами, т.е. их олицетворением. Ведь базисные векторы уже есть по сути нормированные дифференциалы.

В аналитической геометрии квадратичное уравнение такого гиперболоида отличается от уравнения светового конуса лишь тем, что в нем появляется константная единица, аналогичная унитарной норме вектора состояния. Т.о. Лоренцев интервал (2.1), т.е. метрика с t-подобной сигнатурой в дискретной записи должна иметь вид:

(7.7)

Понятно, что в КМ эта неустранимая единица присутствует в виде постоянной Планка в принципе неопределенности. Она связана с квантом времени, выраженным через дискретный (и формально обратимый) оператор Н. Т.о. единица из (7.8) переходит в область действия волновой функции с преобразованием декартовых координат к полярным координатам для унитарной сферы. В СТО и ОТО она приобретает смысл лишь как нормировочная поправка на граничных условиях и связана с квантом времени, так что элемент геодезической не может быть меньше этой величины:

(7.8)

Здесь dt и ds есть физические кванты времени и пространства (Планковские единицы) в отличие от интервала dS и координаты dt в метрическом смысле. Физический и/или психофизический смысл этой единицы в метрике Лоренца (2.1) такой же, каким он должен быть для КМ: поправка заключается в том, что время вмешивается во все процессы, смещая их на квант времени и спасая нас тем самым от сингулярности. При этом формально можно вернуться от метрики гиперболоида к канонической метрике конуса (2.1):

(7.9)

Топологически это значит, что световой конус является замыканием светового гиперболоида, так что все световые точки конуса, включая точку события, являются точками прикосновения для релятивистского причинного (дискретного) мира. Гиперболоид содержит класс всех минимальных экстремалей для ненулевых геодезических. В этом смысле можно считать, что сам конус действительно является континуальным – и ровно поэтому сингулярным, а его мера Лебега тождественно равна нулю на любом интервале, . В дифференциальной геометрии гипербола и конус связаны понятием индикатрисы как касательной. Для нас гораздо важнее то, что гиперболоид является таким ограничением внутренности светового конуса, что он теперь есть ультрафильтр над множеством световых (сингулярных) точек метрики Лоренца.

Рис.12

При этом метрика принимается комплексной, а время как формальная сущность становится мнимым и симметричным, проходящим через «настоящее» мозга, так что две его стрелы проходят сквозь друг друга, а световой конус прошлого оказывается световым гиперболоидом сопряженной анти-Вселенной, между которыми стоит условие (7.9), выражающее принцип неопределенности в релятивизме. Для комплексной плоскости метрика принимает вид вектора состояния в КМ с унитарным модулем.

Для удобства обозначим световые конуса будущего и прошлого в пространстве Минковского М как и соответственно. 1-листный и 2-листный гиперболоиды выразим через и . Т.о. пространство М в метрике (2.1) состоит из двух световых конусов и s-подобной области S, а в метрике (7.8) разлагается в три области, поскольку не является односвязным.

(7.10)

Это значит, что , будучи связным, представляет собою для СТО и ОТО удаленное пространство за пределами скорости света и причинности. Но поскольку именно образует область действия нормированного векторного пространства вокруг световой точки, где волновая функция схлопывается и становятся возможными мгновенные квантовые корреляции, то и разделяют пространство М на области релятивизма и квантовой физики подобно неравенствам Белла. Иначе говоря, если мы хотим оставаться в причинном и дискретном согласно лемме 4 мире, нам не следует выходить за границы гиперболоида . Если же мы хотим работать с континуальным миром, нам придется либо получить сингулярность, либо довольствоваться квантовой неопределенностью. В общем и целом мозгу предоставлен гамлетовский выбор между бытием и небытием.

Эта ситуация напоминает сценарий мира на бране в суперструнной М-теории. В данном случае «браной» для нелокальных взаимодействий пары вселенных оказывается вакуум в треморе двух квантов времени. Речь неявным образом опять идет о вездесущем эфире с той или иной плотностью энергии. Такая модель, именно в поисках решения космологической проблемы, рассматривалась Линде в [26] путем введения совместного действия