φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - [2]

Знаменитый английский физик лорд Кельвин (Уильям Томпсон, 1824–1907), в честь которого назван градус абсолютной температурной шкалы, во время одной своей лекции сказал: «Если знание невозможно выразить численно, значит, оно поверхностно и недостаточно». Разумеется, Кельвин имел в виду то знание, которое необходимо для научного прогресса. Однако числа и математика удивительным образом предрасположены к тому, чтобы способствовать пониманию даже того, что крайне далеко от науки – или, по крайней мере, представляется таким на первый взгляд. В «Тайне Мари Роже» Эдгара Аллана По знаменитый детектив Огюст Дюпен замечает: «Мы превращаем случайность в предмет точных исчислений. Мы подчиняем непредвиденное и невообразимое научным математическим формулам» (пер. И. Гуровой). Можно пояснить это и на более простом примере. Представьте себе, что вы готовитесь к приему гостей и столкнулись со следующей задачей: у вас есть шоколадка, состоящая из двенадцати долек – сколько раз нужно ее разломить, чтобы разделить все части? Ответ куда проще, чем вы думали, и почти не требует вычислений. Каждый раз, когда вы ломаете шоколадку, у вас получается на один кусок больше, чем раньше. Следовательно, если вам нужно получить двенадцать кусков, придется ломать шоколадку одиннадцать раз (убедитесь сами). А если обобщить, то количество разломов всегда будет на один меньше, чем требуемое количество кусков, независимо от того, из скольких частей состоит шоколадка.

Даже если вы не слишком любите шоколад, то все равно понимаете, что этот пример демонстрирует простой математический закон, который можно применить и во многих других случаях. Однако математические свойства, формулы и законы (многие из которых не задерживаются у нас в памяти) – это далеко не все; существуют еще и особые числа, которые настолько вездесущи, что не устают нас изумлять. Самое прославленное из них – число π (пи), отношение длины окружности к ее диаметру. Значение π – 3,14159… – завораживало много поколений математиков. Хотя изначально число π было определено в геометрии, оно очень часто и неожиданно всплывает при вычислении вероятности. Знаменитый пример – так называемая игла Бюффона, названная в честь французского математика Жоржа-Луи Леклерка, графа де Бюффона (1707–1788), который поставил и решил эту вероятностную задачу в 1777 году. Леклерк задал следующий вопрос: представьте себе, что у вас на полу лежит большой лист бумаги, разлинованный параллельными линиями через равные заданные промежутки. На лист совершенно случайным образом бросают иглу, длина которой в точности равна промежутку между линиями. Какова вероятность, что игла упадет так, что пересечет одну из линий (то есть как на рис. 1)? Как ни странно, ответ, оказывается, 2/π. То есть в принципе возможно даже вычислить π, если повторить этот эксперимент много раз и понаблюдать, какая доля бросков заканчивается пересечением иглы с линией (правда, есть и другие методы вычисления π, не такие скучные). Словосочетание «число π» настолько вошло в обиходный лексикон, что кинорежиссер Даррен Аронофски в 1998 году даже снял психологический триллер под таким названием.

Рис. 1

Менее знаменито другое число – φ (фи), а между тем, во многих отношениях оно даже интереснее. Вот, скажем, представьте себе, что я спрашиваю у вас, что общего у изумительного расположения лепестков алой розы, композиции знаменитой картины Сальвадора Дали «Тайная вечеря», чудесного рисунка спиральной раковины и статистики размножения кроликов? Трудно поверить, что у столь разнородных явлений действительно есть нечто общее – и это некое число или геометрическая пропорция, известная человечеству еще со времен античности, число, которому в XIX веке дали почетное называние «золотое число» или «золотое сечение». А в начале XVI века в Италии вышла книга, в которой это число называлось «Божественной пропорцией» – не более и не менее.

В повседневной жизни мы применяем слово «пропорция» для обозначения соотношения между частями целого по размеру или количеству – или когда хотим подчеркнуть гармоничные отношения между разными частями. В математике термин «пропорция» применяется для описания равенства следующего типа: девять относится к трем, как шесть к двум. Как мы увидим, золотое сечение дарит нам чарующее сочетание этих определений: хотя определяется оно строго математически, однако считается, что оно обладает свойствами, обеспечивающими приятную гармонию.

Первое четкое определение соотношения, которое впоследствии станет известно как золотое сечение, дал примерно в 300 году до н. э. Евклид Александрийский, основатель геометрии как формальной дедуктивной системы. К Евклиду и его фантастическим достижениям мы еще вернемся в главе 4, а пока позвольте отметить, что Евклид вызывает столь сильное восхищение, что поэтесса Эдна Сент-Винсент Миллей в 1923 году даже посвятила ему стихотворение под названием «На обнаженность красоты Евклид взглянул» (пер. Л. Мальцевой). Эдна даже сохранила свою школьную тетрадь по евклидовой геометрии. Евклид определил пропорцию, выведенную из простого деления линии (отрезка), по его выражению, «в крайнем и среднем отношении»: «Прямая линия называется рассеченною в крайнем и среднем отношении, когда как целая прямая к большему отрезку, так больший к меньшему» (