Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [24]

Ничего особенно интересного в этом множестве Жюлиа нет, да и фракталом оно, конечно, не является. Но вот при значениях c, отличных от нуля, множества Жюлиа действительно образуют фракталы, причем самой различной формы. Иногда множество Жюлиа связно, иногда – нет. Когда оно несвязно, оно распадается в так называемую “пыль Фату”, которая, как можно догадаться по названию, представляет собой облако из разобщенных точек. Пыль Фату – это тоже фрактал, с размерностью менее 1.

Множество Мандельброта – это набор всех значений c, при которых множество Жюлиа является связным. Это один из самых узнаваемых фракталов, притом что опознать в нем фрактал довольно сложно. Хотя множество Мандельброта связно, можно заметить маленькие крапинки, которые кажутся совершенно изолированными, но в действительности соединены с ним тончайшими “нитями”. При увеличении эти крапинки оказываются уменьшенными изображениями полного множества Мандельброта, что может поначалу показаться удивительным, но на самом деле вполне соответствует тому, что мы знаем о природе фракталов. Однако эти ответвления – не точные копии множества, и среди них нет двух абсолютно идентичных. И это по праву считается одной из самых примечательных черт множества Мандельброта. Если увеличить любую точку на его границе, оно начинает все больше и больше походить на множество Жюлиа, соответствующее этой точке. Множество Мандельброта, являющееся единым фракталом, содержит в себе бесконечное число совершенно непохожих друг на друга фракталов в виде гигантского массива множеств Жюлиа, расположенных вдоль его границы. И действительно, множество Мандельброта иногда даже называют каталогом множеств Жюлиа. Его граница так невероятно сложна, что оказывается двумерной, хотя и предполагается, что ее площадь равна нулю.

Фракталы зачастую воплощают собой незамысловатый, но парадоксальный принцип: крайне простые правила позволяют получать фантастически сложные структуры и узоры. Снежинка Коха создается по правилу, понятному даже ребенку (всего-то нужно построить равносторонний треугольник на средней трети каждого из отрезков), и тем не менее имеет очень замысловатую, хоть и регулярную структуру. Множество Мандельброта во много крат сложнее, но его рецепт опять-таки обезоруживающе прост: начинаем с функции z² + c, а потом, изучая свойства получаемых значений и отфильтровывая те, что не отвечают заданным критериям, постепенно строим безумно сложный фрактал, в различных точках выглядящий совершенно по-разному. Используя компьютер в качестве микроскопа, можно увеличивать любую часть множества Мандельброта и обнаруживать нескончаемый ряд вложенных друг в друга узоров, ни разу в точности не повторяющихся.

У фракталов есть еще одна интересная особенность. Как мы уже знаем, фрактальная размерность снежинки Коха равна 1,26, что дает нам некоторое представление о степени “шероховатости” линии или о том, насколько хорошо она заполняет плоскость. Если взять произвольную линию, пересекающую снежинку Коха, такое пересечение почти всегда само представляет собой фрактал с размерностью 0,26. (Есть несколько случаев вырождения, таких как пересечение по оси симметрии, когда получаются две изолированных точки с фрактальной размерностью 0.) Это верно для любого фрактала с размерностью от 1 до 2 включительно. Например, почти все линии, пересекающие границу множества Мандельброта, образуют фракталы с размерностью 1, хоть они и состоят из разрозненных точек и имеют длину 0.

Если проделать то же с фракталами размерностью менее 1, происходит нечто иное. Любой из таких фракталов представляет собой облако из изолированных точек. Пример – пыль Фату. Удивительно, но почти все прямые, которые пересекают пыль Фату, имеют с ней лишь одну общую точку, образуя фрактал размерности 0, тогда как почти все прямые в целом, даже если ограничиться только теми, что проходят через пыль Фату, с ней не пересекаются.

Все эти фракталы существуют в двумерном пространстве. Но можно найти фракталы и в одномерном пространстве: они представляют собой разрозненные облака точек и имеют размерность 1 или меньше. Самый известный пример одномерного фрактала – канторово множество. Начнем с отрезка. Удалим у него среднюю треть, оставив два крайних отрезка. Будем проделывать то же снова и снова. В конце концов от всех отрезков остаются только отдельные точки, составляющие фрактал с размерностью приблизительно 0,63.

С фракталами тесно связано еще одно явление в математике, называемое хаосом. И то и другое задается итерированными функциями, то есть набором циклически применяющихся правил. На каждом этапе состояние, возникшее в результате предыдущей итерации, используется в качестве аргумента той же функции для получения следующего состояния. В случае с фракталами итерации приводят к возникновению повторяющихся или почти повторяющихся узоров, которым нет конца, сколько бы мы ни увеличивали масштаб. Отличительными чертами хаоса являются сложность, в которой отсутствуют какие бы то ни было повторяющиеся узоры, и крайняя чувствительность к изменениям начальных условий, или начального состояния системы.