Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [18]

Шрифт
Интервал

Байесовский подход также помогает избежать парадокса, впервые сформулированного в 1940-х годах немецким ученым-логиком Карлом Гемпелем. Когда люди видят, что один и тот же принцип (скажем, закон гравитации) исправно действует в течение долгого времени, они склонны делать вывод, что он с очень высокой вероятностью верен. Это так называемое индуктивное умозаключение, которое можно коротко сформулировать так: если наблюдаемое соответствует теории, то вероятность того, что эта теория верна, увеличивается. С помощью описанного им парадокса воронов Гемпель продемонстрировал, в чем слабое место индуктивной логики.

Все во́роны черные, гласит теория. Каждый раз, когда мы видим ворона черного, а не какого-нибудь другого цвета (существование воронов-альбиносов при этом игнорируем!), наша уверенность в верности теории “все вороны черные” растет. Но вот в чем загвоздка: утверждение “все вороны черные” логически эквивалентно утверждению “все, что не черное, – не вороны”. Поэтому, увидев желтый банан – нечерный объект, не являющийся к тому же вороном, – мы должны были бы еще больше укрепиться в своем убеждении, что все вороны черные. Пытаясь обойти этот в высшей степени контринтуитивный результат, некоторые философы настаивают на том, что нельзя считать оба утверждения имеющими равную силу. Другими словами, желтизна бананов должна убеждать нас только в верности теории, что все нечерное – не вороны (второе утверждение), но никак не в том, что все вороны черные (первое утверждение). Это вполне соответствует здравому смыслу: банан – не ворон, поэтому, смотря на него, мы можем узнать что-то о том, что вороном не является, но никак не о самих воронах. Однако это предложение подвергли критике на том основании, что нельзя быть в разной степени уверенным в верности двух логически эквивалентных утверждений, если совершенно ясно, что они либо оба истинны, либо оба ложны. Возможно, просто наша интуиция в этом вопросе нас подводит и вид желтого банана действительно должен еще больше убеждать нас в черноте всех воронов. А вот если рассматривать проблему с байесовской точки зрения, никакого парадокса не возникает. Согласно Байесу, вероятность гипотезы Г следует умножить на следующее отношение:



где X – это нечерный объект, не являющийся вороном, а Г – гипотеза, что все вороны черные.

Если попросить кого-нибудь выбрать любой случайный банан и показать его вам, то вероятность, что увиденный вами банан будет желтым, никак не зависит от окраса оперения воронов. Вы уже заранее знаете, что увидите нечто, что вороном не является. Числитель дроби (то, что поверх черты) будет равен знаменателю (тому, что под чертой), отношение будет равно единице, а вероятность останется неизменной. Желтизна увиденного банана никак не повлияет на вашу уверенность в том, что все вороны черные. Если попросить кого-нибудь взять любой случайный нечерный предмет и вам покажут желтый банан, то числитель станет больше знаменателя на какую-то ничтожную величину. Вид желтого банана очень незначительно увеличит вашу уверенность в том, что все вороны черные. Чтобы всерьез укрепиться в верности этого утверждения, вам нужно будет увидеть почти все нечерные объекты, существующие во вселенной, плюс убедиться, что все они – не вороны. И в том и в другом случае результат будет соответствовать тому, что говорит ваша интуиция.

Может показаться странным, что информация имеет какое-то отношение к случайности, но на самом деле они очень тесно связаны. Представьте себе цепочку цифр, составленную только из нулей и единиц. Цепочка 1111111111 абсолютно упорядоченна, а потому не содержит практически никакой информации (разве что “десятикратное повторение цифры 1”), так же как чистый холст, на котором все точки имеют белый цвет, почти ни о чем нам не говорит. С другой стороны, сгенерированная случайно последовательность 0001100110 содержит максимальный объем информации, возможный для цепочки такой длины. Дело в том, что один из способов дать количественную оценку информации – это определить, насколько сильно можно сжать данные. Истинно случайный набор цифр невозможно укоротить, сохранив при этом всю содержащуюся в нем информацию. А вот длинную цепочку, состоящую, например, из одних единиц, можно сжать во много раз – просто указав, сколько в ней единиц. Информация и беспорядок теснейшим образом связаны друг с другом. Чем более беспорядочна и случайна цепочка, тем больше информации она содержит.

Можно посмотреть на это по-другому: открывая каждую последующую цифру случайной цепочки, мы получаем максимум возможной информации. С другой стороны, если мы видим цепочку 1111111111, ничего не стоит догадаться, какой будет следующая цифра. (Это касается только законченных цепочек, а не кусочков более длинных последовательностей. Произвольно длинная случайная цепочка цифр будет содержать сочетание 1111111111 бесконечное количество раз.) Объем информации, который можно считать полезным, – всегда компромисс между этими двумя крайностями. Например, фотография с минимумом информации – это просто одноцветный фон, а содержащая минимум информации книга – это листы, заполненные строчками из одной-единственной буквы. Ни то ни другое не представляет никакого интереса с точки зрения объема информации. Фотография же с максимумом информации будет беспорядочным, хаотичным скоплением пикселей, а книга – бессмысленным нагромождением случайных букв. Такое нас тоже вряд ли заинтересует. Самая полезная и нужная нам информация находится где-то посередине. Обычное фото содержит информацию, но в понятном нам виде и объеме. Если один из пикселей изображения окрашен в какой-то цвет, то непосредственные его соседи, скорее всего, будут похожего цвета. Мы это знаем и можем использовать для того, чтобы сжать изображение без потери информации. Книга, которую вы сейчас читаете, по большей части представляет собой лишь цепочки букв и пробелов, перемежающиеся знаками пунктуации. В отличие от описанных выше крайностей – абракадабры из символов либо бесконечных повторений одной буквы – в этой книге буквы структурированы в цепочки, называемые словами. Одни слова встречаются редко; другие, как, например, “и”, повторяются очень часто. Кроме того, слова объединены в предложения в соответствии со сводом правил, именуемым грамматикой, и так далее – а все для того, чтобы в итоге читатель сумел понять представленную ему информацию. С мешаниной из случайных знаков такое просто невозможно.

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
На траверзе — Дакар

Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.

Историческое образование, наука и историки сибирской периферии в годы сталинизма

Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.

Интеллигенция в поисках идентичности. Достоевский – Толстой

Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.

Князь Евгений Николаевич Трубецкой – философ, богослов, христианин

Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.

Технологии против Человека. Как мы будем жить, любить и думать в следующие 50 лет?

Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.

Лес. Как устроена лесная экосистема

Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.

Книга Бытия. Общая история происхождения

В “Книге Бытия” Гвидо Тонелли, известный итальянский физик, стоявший у истоков открытия знаменитого бозона Хиггса, описывает историю происхождения Вселенной и эволюцию жизни на Земле с точки зрения фундаментальной физики. Эта книга – одна из наиболее емких, внятных и убедительных попыток ответить на вечный вопрос человечества: “Что же на самом деле произошло в те первые мгновения?” Уместив 13,8 миллиарда лет в библейские “семь дней сотворения мира”, Тонелли увлекает читателя в стремительное путешествие по истории космоса – от Большого взрыва и рождения Вселенной до появления на Земле жизни, человеческого языка и способности человека видеть, понимать и описывать мир вокруг себя.

Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества

В этой книге увлекательно и доступно от первого лица рассказывается история потрясающего научного открытия. Физик-теоретик Пол Стейнхардт, профессор Принстонского университета, автор важных космологических теорий о ранней Вселенной, в чью честь Международная минералогическая ассоциация в 2014 году назвала новый минерал “стейнхардтитом”, описывает, как была найдена новая форма вещества – квазикристаллы, с конфигурацией атомов, запрещенной законами классической кристаллографии. Это захватывающая история о зарождении нового научного направления, о “невозможности”, которая оказалась возможной, о подлинной страсти и отчаянной храбрости в науке. В формате PDF A4 сохранен издательский макет.

Парадокс добродетели

Ричард Рэнгем, приматолог и антрополог, специалист в области эволюции приматов, профессор Гарвардского университета, подробно и доступно разбирает научную дискуссию по важнейшим вопросам: почему людям, представителям единого биологического вида, свойственны одновременно и удивительная доброта, и немыслимая жестокость; как эти качества, порой выходящие далеко за пределы здравого смысла, появились и закрепились в ходе эволюционной истории человечества; откуда у нас нравственные чувства, понятия о добре и зле; и главное – обречены ли мы своим эволюционным парадоксом на вечную угрозу насилия. В формате PDF A4 сохранен издательский макет книги.