Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [13]

Как-то не верится, что, бросая кости, древние греки или римляне не имели хотя бы интуитивного представления о вероятности выпадения того или иного варианта. Когда речь идет о деньгах или иной материальной выгоде, и игроки, и другие заинтересованные стороны очень быстро схватывают все нюансы игры. Так что, скорее всего, какое-то внутреннее чутье, понимание шансов благоприятного исхода сформировалось не одно тысячелетие назад. Ну а наука всерьез взялась за изучение случайности и вероятности только в период позднего Возрождения и в XVII веке. В авангарде научных открытий в области случайности и вероятности в то время шли французский математик и философ (и к тому же ревностный янсенист) Блез Паскаль и его соотечественник Пьер де Ферма. Эти двое великих мыслителей взялись решить задачу, которую упрощенно можно сформулировать так: предположим, два игрока подбрасывают монету и денежный выигрыш достается тому, кто первым наберет три очка. Однако игра прерывается, скажем, в тот момент, когда один из игроков ведет со счетом 2:1. Как тогда разделить выигрыш между игроками наиболее справедливым образом? Еще до Паскаля и Ферма было предложено немало решений этой задачи. Возможно, ставку следует разделить поровну, раз игра не закончилась и определить победителя невозможно. Но это несправедливо по отношению к игроку, набравшему два очка, – надо же как-то учесть его преимущество. С другой стороны, вариант решения, в котором предлагалось отдать все деньги лидеру, несправедлив по отношению к его сопернику, у которого тоже был шанс выиграть, если бы игра продолжилась. В третьем варианте решения предлагалось разделить ставку с учетом набранных очков, то есть две трети отдать игроку с двумя очками и одну треть – игроку с одним очком. На первый взгляд, справедливо – но есть проблема. Предположим, игра прервалась бы при счете 1:0. В этом случае, если применять то же правило, игрок, набравший одно очко, получает все деньги, второй же (который мог бы выиграть, если бы игру довели до конца) остается ни с чем.

Паскаль и Ферма нашли более удачное решение, а заодно открыли новый раздел математики. Они вычислили вероятность победы каждого из игроков. Игроку с одним очком, чтобы выиграть, нужно набрать еще два очка подряд. Вероятность этого равна S, помноженной на S, то есть j. Таким образом, он должен получить четверть суммы выигрыша, а остальное идет сопернику. Этим же методом можно решить любую задачу такого рода, только вычисления могут оказаться посложнее.

Работая над этой задачей, Паскаль и Ферма пришли к понятию так называемого математического ожидания. В азартных играх или любой другой ситуации, когда успех зависит от случая, математическим ожиданием называют среднее значение выигрыша, на который вы можете резонно рассчитывать. Предположим, например, что вы играете в кости и выигрываете по шесть фунтов каждый раз, когда выпадает три очка. Ожидаемое значение выигрыша в этом случае – один фунт, поскольку шансы, что выпадет три очка, составляют один к шести, а одна шестая выигрыша – это и есть один фунт. Если играть много раз, за каждый бросок кости вы заработаете в среднем по одному фунту. После 1000 бросков ваш средний заработок составит 1000 фунтов, так что если каждый раз ставить по фунту, то вы как раз выйдете в ноль. Обратите внимание, что, хотя ожидаемое значение и составляет один фунт, выиграть ровно столько в этой игре невозможно. Не во всякой азартной игре возможно получить за одну партию точную ожидаемую сумму выигрыша; ожидаемое значение – это тот средний размер выигрыша за партию, на который вы можете рассчитывать при многократном повторении игры.

В лотерее ожидаемое значение, как правило, отрицательное, поэтому с рациональной точки зрения это не лучший способ заработать. (В некоторых лотереях при переносе джекпота иногда возникают ситуации, когда ожидаемое значение выигрыша становится положительным.) То же касается и игр в казино, по очевидной причине: казино – предприятие коммерческое, его задача – получать прибыль. Случаются, правда, и сбои из-за ошибки в расчетах. Известен случай, когда казино увеличило сумму выигрыша всего лишь по одному из исходов игры в блек-джек. В результате математическое ожидание выигрыша стало положительным и заведение за несколько часов потеряло огромную сумму. Заработок казино напрямую зависит от досконального знания математики теории вероятностей.

Случаются совпадения настолько маловероятные, что люди начинают подозревать неладное: один и тот же человек дважды выигрывает главный приз в лотерее или в двух розыгрышах выпадают одинаковые номера. Журналисты часто слетаются на такие истории как пчелы на мед, раздувая из кажущегося фантастическим совпадения настоящую сенсацию. А все из-за того, что мы в большинстве своем просто не умеем объективно оценивать вероятность подобных событий, поскольку исходим из ложных предпосылок. Взять хотя бы случай со счастливчиком, которому главный приз достался два раза: мы пытаемся решить эту задачу применительно к себе и рассуждаем – а у меня какие шансы выиграть дважды? И тут же отвечаем себе: да почти никаких. Но ведь те редкие люди, которым это удается, как правило, регулярно играют в лотерею много лет подряд. Два выигрыша за много лет игры – это уже совсем не так удивительно. Еще важнее помнить, какое огромное количество людей участвует в лотерее. Большинство из них никогда не выиграет джекпот даже один раз, не говоря уже о двух. Но при таком количестве играющих тот факт, что кто-то где-то выигрывает дважды, уже не выглядит таким уж невероятным.