Естествознание. Базовый уровень. 11 класс - [13]

Будем называть, как это сделал Больцман, наши состояния I–V макросостояниями. Макросостояние определяется тем, сколько шариков находится в данной ячейке, и не интересуется тем, какие шарики там находятся. В противоположность этому микросостояние определяется тем, какие именно шарики в какой ячейке находятся. Понятно, что, для того чтобы определить микросостояние, требуется более глубокое и внимательное изучение (например, цифры на шариках могут быть едва заметными), поэтому оно так и называется. Разным макросостояниям соответствует различное число микросостояний. Чем более равномерным является распределение шариков по ячейкам, тем больше вероятность такого макросостояния и тем больше микросостояний ему соответствует. Но для такого состояния характерна и наибольшая энтропия. Из этого Больцман сделал вывод, что энтропию данного макросостояния можно измерить числом микросостояний, которым оно определяется. Более точно, энтропия пропорциональна логарифму этого числа. В физике энтропию принято обозначать буквой S, поэтому формулу, выведенную Больцманом, можно представить так:

S = klog W,

где k – коэффициент пропорциональности, а W – число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию.

Состояние I, так же как и состояние V, определяется единственным микросостоянием. Так как логарифм единицы по любому основанию равен нулю, то и энтропия этих состояний равна нулю. Это значит, что в этих состояниях существует абсолютный порядок. Число микросостояний, которые определяют макросостояния I и IV, равно четырём, а значит, энтропия каждого из них равна log 4. Величина этого логарифма зависит от того, какое основание для логарифмирования мы выберем. Вообще говоря, основание может быть любым, так как в зависимости от этого изменится только коэффициент пропорциональности. Но по причинам, о которых вы узнаете в дальнейшем, нам будет удобно выбрать основание 2. Тогда энтропия макросостояний I и IV будет равна двум. Самым «беспорядочным» из наших макросостояний будет состояние III, которое может осуществиться шестью микросостояниями. Следовательно, энтропия этого, наиболее вероятного, состояния равна логарифму 6 по основанию 2, что составляет приблизительно 2,6.

Проверьте свои знания

1. Что такое макро– и микросостояние?

2. Чему равна энтропия макросостояния, которое обеспечивается единственным микросостоянием?

3. Почему макросостояние, при котором число шариков в каждой ячейке одинаково, оказывается наиболее вероятным?

4. Какие у создателей статистической физики были основания сопоставить вероятность состояния с его энтропией?

Задания

Предположим, что у нас имеется 6 шариков, которые могут быть распределены по двум ячейкам.

A. Составьте таблицу, в которой будут указаны все возможные макросостояния.

Б. Составьте таблицу, в которой будут указаны все микросостояния для каждого макросостояния.

B. Найдите вероятность каждого макросостояния.

§ 9 Информация

Есть у меня шестёрка слуг,

Проворных, удалых,

И всё, что вижу я вокруг, —

Всё знаю я от них.

Они по знаку моему

Являются в нужде.

Зовут их: Как и Почему,

Кто, Что, Когда и Где.

Р. Киплинг

Любое живое существо постоянно передаёт во внешний мир какие-то сигналы, а также получает сигналы из окружающей его среды.

Рис. 19. К. Шеннон

Человеку свойственна непрерывная познавательная деятельность, в течение жизни он постоянно узнаёт что-то новое и что-то в устной или письменной форме сообщает другим людям. Мы постоянно передаём окружающим и получаем от них знаки и сообщения, содержащие сведения о мыслях, чувствах, мнениях или желаниях. Мир этих сообщений и способов их передачи кажется необъятным, не поддающимся никакому строгому формальному описанию, тем более в математической форме.

Тем не менее в первой половине XX в. встал вопрос о необходимости введения количественной характеристики для передаваемых и принимаемых сообщений. Эта количественная характеристика вскоре получила название информация. Официально создателем теории информации считается американский инженер и математик Клод Шеннон (1916–2001), опубликовавший свою работу в этой области в 1948 г., хотя ещё в начале XX в.  у него были предшественники (рис. 19). Работая в компании «Белл», Шеннон занимался процессами передачи сообщений, а во время Второй мировой войны много времени уделял процедуре шифрования (рис. 20). Перед исследователями, занимавшимися проблемами связи, стоял вопрос, как передать полезное сообщение с максимальной точностью и минимальными затратами. Для этого требовалось знать, сколько информации попало к потребителю и сколько её потерялось в процессе передачи. Поэтому количество информации необходимо было измерить.

Как можно измерить информацию? Прежде всего, надо уяснить, что информация – это не характеристика сообщения, а характеристика отношения между сообщением и его потребителем. Одно и то же сообщение может содержать огромную информацию для одного потребителя и нулевую – для другого, например для человека, незнакомого с языком, на котором передано это сообщение.

Логично предположить, что количество содержащейся в сообщении информации зависит от того, насколько это сообщение было неожиданным. Ведь если мы заранее знали всё, о чём нам сообщили, то никакой информации нам это сообщение не дало. Но как измерить степень неожиданности строгой количественной мерой? Допустим, получив сообщение, мы не узнали ничего нового. Это означает, что результат был известен нам и до сообщения и мы могли предугадать его с вероятностью, равной единице. Значит, единичной вероятности соответствует нулевая информация. Но если мы не были уверены в правильном ответе на интересующий нас вопрос, мы вместе с точным ответом получаем и какую-то информацию. Определить её количество можно, если представить себе, что такое самый простой вопрос. Очевидно, это такой вопрос, на который можно ответить либо «да», либо «нет».