Естественнонаучная картина мира - [62]

§ 10. Неевклидовы геометрии пространства и гауссовы координаты

Первый шаг в сторону от евклидового пространства, связанный с теорией относительности, был сделан уже в 1908 г. Г. Минковским в математической модели четырехмерного пространственно-временного континуума. Мы не можем представить это пространство, как оно есть, мы можем лишь схематично описать его подобно тому, как существа, живущие в двухмерной системе, не смогут наглядно представить наш трехмерный мир, хотя смогут достаточно точно его описать при помощи уравнений. Но настоящую пространственно-временную революцию осуществила не СТО, а ОТО.

Собственно, СТО сохранила главную черту пространства Евклида – нулевую кривизну плоскостей и пространств, на которых и внутри которых и существуют все возможные геометрические построения и описания. Фундаментальный принцип этой геометрии – кратчайшим расстоянием между двумя точками является прямая. Эта прямая носит название «геодезическая линия» или просто «геодезическая». Если мы добавим в это чисто математическое выражение физический смысл, то мы можем сказать: в евклидовой системе и эквивалентных ей свет движется от одной точки до другой по геодезической. Луч света здесь является образным определением прямой, точнее, геометрического луча как ее части. Но попробуем изобразить геодезическую линию на вогнутой или выпуклой поверхности, например, на футбольном мяче. Геодезическая останется кратчайшим расстоянием между точками на искривленной поверхности, но относительно нас как внешних наблюдателей она примет вид кривой. Другой пример. Изобразим на листе бумаги путь некоторого тела, просто проведя грифелем условно прямую линию от одного конца до другого. Теперь сложим лист бумаги пополам – траектория движения изменится и будет напоминать острый угол, хотя для движущегося тела она останется прямолинейной относительно его системы отсчета (плоскости листка бумаги). Сомнем лист в ладони – траектория пример вид бесконечно-ломанной кривой. Свернем лист в трубочку перпендикулярно нашей линии – траектория примет вид окружности. Очевидно, что мы можем скручивать и сворачивать плоскости (точнее, их физические аналоги, вроде бумажных листов), а не пространства, но суть процессов остается той же самой. Таким образом, при нулевой кривизне пространства все системы могут быть рассмотрены как инерциальные. Переход к неинерциальным системам всегда связан с искривлением континуума – именно кривизна привносит эффект ускорения движения относительно наблюдателя и отклонения этого движения от прямолинейных траекторий.

Представим, что мы перемещаемся по ровной прямой дорожке со скоростью 5 км/ч относительно поверхности этой дорожки. Мы можем, с некоторыми оговорками, в какой-то период считать свое движение равномерным (мы можем этого добиться при помощи очень точных часов, сделав поправки на ускорение и торможение). Будет ли оно прямолинейным, даже если дорожка очень ровная и прямая? Нет, ни в коем случае. Может ли оно быть прямолинейным гипотетически? Нет, снова нет. Почему же? Ответ известен каждому: мы не можем перемещаться по прямой на поверхности Земли, поскольку поверхность Земли – не прямая, а искривленная, сферическая. Мы, таким образом, можем перемещаться только по таким траекториям, по которым позволяет нам перемещаться сама структура поверхности или пространства, хотя сами мы этого можем не замечать или в ряде случаев просто пренебречь.

Вопрос: что же именно искривляет и сворачивает (точнее даже сказать, «уплотняет») пространство? Источником такого искривления является все та же масса, взятая теперь как характеристика плотности материи и выступающая как эквивалентная энергии. Масса любого материального тела искривляет пространство пропорционально своей величине, в том числе и масса шарика, падающего на поверхность Земли. Понятно, что масса шарика искривляет пространство настолько незначительно, что этим эффектом можно смело пренебречь. Условное представление о такого рода искривлении пространства дает следующий пример. Представим себе массивный шар, помещенный в центр резинового коврика, изначально представляющего собой плоскость. Своей массой он продавит коврик, искривляя поверхность.

Таким образом, модель пространства была создана. Необходимо было лишь описать ее. Задача для физики упрощалась тем, что математическая основа для описаний такого рода плоскостей и пространств уже была разработана математиками, создателями различных вариантов неевклидовых геометрий – Бернхардом Риманом, Николаем Ивановичем Лобачевским. Карлом Гауссом была создана и соответствующая система координат, альтернативная декартовой. Для Декарта все координатные оси и направляющие были прямыми и строились как перпендикуляры к осям. Гаусс же изначально использует не прямые, а кривые – как если бы мы чертили декартову двухмерную координатную систему на неровной выпукло-вогнутой поверхности. Гауссова система, выступила, таким образом, в качестве логического обобщения системы Декарта, что делает возможным ее применение к любому пространственно-временному континууму с любым количеством измерений. Именно гауссовы координаты и берет за основу Эйнштейн для описания процессов, происходящих в любых системах отсчета, – как инерциальных (здесь кривые превратятся в рамках частного случая в прямые), так и неинерциальных. И именно в гауссовых координатах принцип относительности будет выполняться в полном объеме для всех систем отсчета.