Движение. Теплота - [22]

₂ = F/m₂. Так как сила одна и та же, то мы приходим к важному выводу: ускорения, полученные при взаимодействии двух тел, участвующих в «выстреле», будут обратно пропорциональны их массам:

Это значит, что ускорение, которое получит пушка при откате, будет во столько раз меньше ускорения снаряда, во сколько раз пушка весит больше, чем снаряд.

Ускорение пули, а также и ружья при отдаче, длится до тех пор, пока пуля движется в дуле ружья. Обозначим это время буквой t. Через этот промежуток времени ускоренное движение сменится равномерным. Для простоты будем считать ускорение неизменным. Тогда скорость, с которой пуля вылетит из дула ружья, будет v₁ = a₁t, а скорость отдачи v₂ = a₂t. Так как время действия ускорения одно и то же, то v₁/v₂ = a₁/a₂ и, следовательно,

Скорости, с которыми разлетаются тела после взаимодействия, будут обратно пропорциональны массам этих тел.

Если вспомнить векторный характер скорости, то последнее соотношение можно переписать так: m₁v₁ = −m₂v₂; знак минус говорит о том, что скорости v₁ и v₂ направлены в противоположные стороны.

Наконец, перепишем равенство еще раз – перенесем произведения масс на скорости в одну сторону равенства:

m₁v₁ + m₂v₂ = 0

Закон сохранения импульса

Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела (другое название – количество движения). Так как скорость – вектор, то и импульс является векторной величиной. Разумеется, направление импульса совпадает с направлением скорости движения тела.

При помощи нового понятия закон Ньютона F = ma может быть выражен иначе. Так как a = (v₂ − v₁)/t, то F = (mv₂ − mv₁)/t, или Ft = mv₂ − mv₁. Произведение силы на время ее действия равно изменению импульса тела.

Вернемся к явлению отдачи.

Наш результат рассмотрения отдачи орудия можно теперь сформулировать короче: сумма импульсов орудия и снаряда после выстрела остается равной нулю. Очевидно, такой же она была и до выстрела, когда орудие и снаряд находились в состоянии покоя.

Скорости, входящие в уравнение m₁v₁ + m₂v₂ = 0, – это скорости непосредственно после выстрела. При дальнейшем движении снаряда и орудия на них начнут действовать силы тяжести, сопротивление воздуха, а на пушку дополнительно – и сила трения о землю. Вот если бы выстрел был произведен в безвоздушном пространстве из орудия, висящего в пустоте, тогда движение со скоростями v₁ и v₂ продолжалось бы сколь угодно долго. Орудие двигалось бы в одну сторону, а снаряд – в противоположную.

В артиллерийской практике в настоящее время широко применяются орудия, установленные на платформе и стреляющие на ходу. Как же изменить выведенное уравнение, чтобы оно было применимо к выстрелу из такого орудия? Мы можем записать:

m₁u₁ + m₂u₂ = 0,

где u₁ и u₂ – скорости снаряда и орудия по отношению к движущейся платформе. Если скорость платформы V, то скорости орудия и снаряда по отношению к покоящемуся наблюдателю будут v₁ = u₁ + V и v₂ = u₂ + V.

Подставляя значения u₁ и u₂ в последнее уравнение, получим:

(m₁ + m₂)V = m₁v₁ + m₂v₂.

В правой части равенства у нас стоит сумма импульсов снаряда и орудия после выстрела. А в левой? До выстрела орудие и снаряд с общей массой m₁ + m₂ движутся вместе со скоростью V. Значит, и в левой части равенства стоит общий импульс снаряда и орудия, но до выстрела.

Мы доказали очень важный закон природы, который называется законом сохранения импульса. Доказали мы его для двух тел, но можно легко показать, что такой же результат имеет место и для любого числа тел. Каково же содержание закона? Закон сохранения импульса говорит, что сумма импульсов нескольких тел, находящихся во взаимодействии, не меняется в результате этого взаимодействия.

Ясно, что закон сохранения импульса будет справедлив лишь тогда, когда на ту группу тел, которую мы рассматриваем, не действуют силы со стороны. Такая группа тел называется в физике замкнутой.

Ружье и пуля во время выстрела ведут себя, как замкнутая группа двух тел, несмотря на то, что испытывают действие силы земного притяжения. Вес пули мал по сравнению с силой пороховых газов и явление отдачи произойдет по одним и тем же законам, независимо от того, где будет произведен выстрел, – на Земле или в ракете, летящей в межпланетном пространстве.

Закон сохранения импульса позволяет легко решать различные задачи, относящиеся к столкновениям тел. Попробуем одним глиняным шариком попасть в другой – они слипнутся и будут продолжать движение вместе; если выстрелить из ружья в деревянный шар, он покатится вместе с застрявшей в нем пулей; стоявшая вагонетка покатится, если человек с разбегу прыгнет в нее. Все приведенные примеры с точки зрения физика весьма похожи. Правило, связывающее скорости тел при столкновениях такого типа, сразу же получается из закона сохранения импульса.

Импульсы тел до встречи были m₁v₁ и m₂v₂, после столкновения тела объединились, их общая масса равна m₁ + m₂. Обозначив скорость объединившихся тел через V, получим:

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)V,

или

Напомним о векторном характере закона сохранения импульса. Импульсы mv, стоящие в числителе формулы, надо складывать как векторы.