Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы [заметки]
1
Мари Кондо – японская писательница, автор книги «Магическая уборка. Японское искусство наведения порядка дома и в жизни». Шерил Сэндберг – член совета директоров Facebook, автор книги «Не бойся действовать». Джордан Питерсон – канадский психолог, автор книги «12 правил жизни. Противоядие от хаоса», первое из которых гласит: «Выпрямись и расправь плечи». Брене Браун – американская писательница, автор лекции «Сила уязвимости», с которой она выступала на ежегодной конференции фонда TED (Technology, entertainment, design – технологии, развлечения, дизайн). Здесь и далее прим. пер., если не указано иное.
2
Отсылка к названию книги египетского предпринимателя Мо Гавдата «Формула счастья» (Минск: Попурри, 2018).
3
Отсылка к названию книги американского комика Стива Харви «Поступай как женщина, думай как мужчина» (М.: Одри, 2011).
4
Вероятно, отсылка к названию книги Аарона Росса и Джейсона Лемкина «От невозможного к неизбежному» (From Impossible To Inevitable).
5
Эта статья была опубликована на платформе Medium: medium.com/@Soccermatics/if-you-had-followed-the-betting-advice-in-soccermatics-you-would-now-be-very-rich-1f643a4f5a23. Полное описание модели можно найти в моей книге «Футболоматика. Как благодаря математике “Барселона” выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния». Издана на русском языке (М.: Бомбора, 2018).
6
Разница между типами букмекеров не только в точности коэффициентов. Резкие быстрее реагируют на изменения ситуации корректировкой коэффициентов (часто это делается автоматически), ставки у них не ограничены. Мягкие меняют коэффициенты медленнее и вводят ограничения на ставки; они тоже имеют доступ к технологиям, но предпочитают охватить больше людей, которые в долгосрочной перспективе будут терять деньги. В России обычно говорят о рекреационных и профессиональных конторах. Первые (подавляющее большинство) рассчитаны на любителей азартных игр, вторые – на профессионалов, нацеленных на получение прибыли.
7
Каждая ставка умножает ваш капитал на 1,0003 (увеличение в 0,03 % на ставку). Если вы делаете по 100 ставок в день, ваш ожидаемый капитал к концу года составляет 1000 × 1,0003>100 × 365 = 56 860 593,80.
8
В разных странах используются различные виды коэффициентов. Британский (или дробный) – отношение потенциальной чистой прибыли к сумме, которую надо поставить, чтобы ее получить. В нашем случае отношение 3/2 означает, что мы ставим 2 фунта, чтобы в случае победы получить чистую прибыль 3 фунта. Европейский (десятичный) коэффициент, который используется и в России, – это число, на которое умножается ставка для определения потенциальной выплаты. В нашем случае коэффициент 2,5 означает, что при ставке в 2 фунта мы получаем 2 × 2,5 = 5 фунтов, чистая прибыль снова составляет 3 фунта. Американский коэффициент – это сумма потенциальной чистой прибыли при ставке в 100 условных единиц (он может быть положительным или отрицательным). В нашем случае +150 означает, что на каждые 100 единиц ставки можно получить 150 единиц чистой прибыли. Для ставки в 2 фунта чистая прибыль равна 3 фунтам. Таким образом, все три числа, указанные автором, действительно определяют одно и то же.
9
Коэффициенты букмекера справедливы, если коэффициент на событие, умноженный на коэффициент против события, даст 1. Например, когда коэффициент на победу равен 3/2, а на ничью или поражение 2/3 – поскольку 3/2 × 2/3 = 1. Однако на практике букмекеры никогда не предложат справедливые коэффициенты. Например, в вышеприведенном примере они скорее дадут 7/5 на победу фаворита и 4/7 против, так что 7/5 × 4/7 < 1. Маржа букмекера в этом случае составит 1/(1 + 7/5) + 1/(1 + 4/7) – 1 ≈ 0,05 или 5 %.
10
Ваша ожидаемая прибыль на одну ставку составляет:
то есть 4 пенса потерь на ставку в 1 фунт.
11
Даже после пяти неудачных попыток вам не следует слишком отчаиваться. Если вероятность успеха на одном собеседовании составляет 1/5, вероятность того, что вам придется пройти минимум 5 собеседований, чтобы получить какую-то работу, составляет 1 – (1–1/5)>5 = 67 %.
12
Benter W. Computer based horse race handicapping and wagering systems: a report // D. B. Hausch, V. S. Y. Lo, W. T. Ziemba, eds. Efficiency of Racetrack Betting Markets. Revised edn. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte Ltd, 2008. Pp. 183–198.
13
Модель работала и без этих старых коэффициентов (по сути, вычисляла коэффициенты с нуля) и даже давала небольшую прибыль. Однако главную выгоду принесло именно сочетание коэффициентов и корректирующего их алгоритма.
14
Бентер входил в состав команды, игроки которой отслеживали все вышедшие карты и за счет этого контролировали вероятность появления следующей карты. Команда получала крохотное преимущество, которого хватало, чтобы заработать. Однако в итоге Бентер с коллегами попали в черный список, и им было запрещено появляться в казино.
15
Модель стала всерьез окупаться как раз тогда, когда Бентер учел коэффициенты ставок.
16
Chellel K. The gambler who cracked the horse-racing code // Bloomberg Businessweek, 3 May 2018 // bloomberg.com/news/features/2018-05-03/the-gambler-who-cracked-the-horse-racing-code.
17
Крупным игроком на гонконгских ипподромах был бывший партнер Бентера по играм в казино Алан Вудс, с которым тот поссорился в первые годы работы над моделью. В итоге они использовали разные модели и ставили по отдельности (хотя часто привлекали одних и тех же людей в качестве помощников – такие ставки требовали участия множества людей).
18
Сам Бентер соглашается с суммой около миллиарда, но говорит, что существенная часть денег ушла его партнерам в Гонконге и США.
19
Bolton R. N., Chapman R. G. Searching for positive returns at the track: a multinomial logit model for handicapping horse races // Management Science. 1986. August. Vol. 32. No. 8. Pp. 1040–1060.
20
Он покинул колледж ради игры в казино.
21
Cox D. R. The regression analysis of binary sequences // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological). 1958. Vol. 20. No. 2. Pp. 215–232.
22
В обоих случаях – в исследовательские организации.
23
Не следует считать, что это число – точное значение. Отчет Управления гражданской авиации «Мировая статистика катастроф со смертельным исходом, 2002–2011», CAP 1036 (июнь 2013), дает оценку 0,6 катастрофы со смертельным исходом на миллион совершенных полетов, не считая нападений террористов, для рейсов с 2002 по 2011 год. При этом в катастрофе со смертельным исходом погибают не все люди, и статистика отличается для разных стран, так что точную величину определить невозможно. В любом случае это число мало даже в масштабе миллионных долей.
24
В своей работе «Очерки к решению проблемы доктрины шансов» Томас Байес рассмотрел одну конкретную задачу с шарами, бросаемыми на стол, и поставил вопрос: если нечто произошло или не произошло определенное количество раз, какова вероятность, что это произойдет в следующий раз? Формально это не было теоремой. Имя Байеса не связывалось с таким подходом до ХХ века.
25
Культурная апроприация – принятие одной культурой элементов другой. Многие считают это вредным, полагая, что происходит эксплуатация культуры, из которой совершается заимствование. Бонго – латиноамериканский ударный музыкальный инструмент, род барабана.
26
Этот результат противоречит интуитивным представлениям, но математически он верен. Чтобы дополнительно убедить себя, предположим, что θ = 0,98, а истинная вероятность восхода составляет 98 %. В этом случае кажется неудивительным, если бы солнце вставало во все 100 дней его наблюдения. Вероятность 100 восходов подряд в этом случае равна 0,98>100 ≈ 13,3 %. Число небольшое, но и не пренебрежимо малое. Ту же логику можно приложить к числу θ = 0,985 ∙ (0,985>100 ≈ 22,1 %) и к другим значениям θ < 0,99. Хотя более вероятно, что значение θ превосходит 99 %, вполне правдоподобно, что оно меньше 99 % (точнее, вероятность – 36,2 %).
27
Юм Д. Исследование о человеческом разумении / Пер. С. И. Церетели. М.: РИПОЛ классик, 2017.
28
Рассуждения из этого абзаца взяты из работы Дэвида Оуэна «Юм против Прайса о чудесах и априорных вероятностях: свидетельство и байесовские вычисления» (Hume versus Price on miracles and prior probabilities: testimony and the Bayesian calculation // Philosophical Quarterly. 1987. April. Vol. 37. No. 147. Pp. 187–202.
29
Это вычисление предоставляется заинтересовавшемуся читателю. Используйте в помощь примечание 7 выше.
30
Аналогично. Используйте примечание 7 выше.
31
Zebrowski M. K. Richard Price: British Platonist of the eighteenth century // Journal of the History of Ideas. 1994. January. Vol. 55. No. 1. Pp. 17–35.
32
Price R. Observations on Reversionary Payments… To Which Are Added, Four Essays on Different Subjects in the Doctrine of Life-Annuities… A New Edition, With a Supplement, etc., Vol. 2. London: T. Cadell, 1792.
33
Poitras G. Richard Price, miracles and the origins of Bayesian decision theory // European Journal of the History of Economic Thought. 2013. February. Vol. 20. No. 1. Pp. 29–57.
34
Price R., Turgot A.-R.-J. Observations on the Importance of the American Revolution, and the Means of Making it a Benefit to the World. London: T. Cadell, 1785.
35
Vernon I., Goldstein M., Bower R. G. Galaxy formation: a Bayesian uncertainty analysis // Bayesian Analysis. 2010. Vol. 5. No. 4. Pp. 619–669.
36
Carter C. Is screen time toxic for teenagers? // Greater Good Magazine, 27 August 2018 // greatergood.berkeley.edu/article/item/is_screen_time_toxic_for_teenagers.
37
Odgers C. L. Smartphones are bad for some adolescents, not all // Nature. 2018. February. Vol. 554. No. 7693. Pp. 432–434.
38
Этот результат исходно был получен при исследовании британских подростков, см.: Przybylski A. K., Weinstein N. A large-scale test of the Goldilocks hypothesis: quantifying the relations between digital-screen use and the mental well-being of adolescents // Psychological Science. 2017. January. Vol. 28. No. 2. Pp. 204–215.
39
Если быть точнее, это формула 95 %-го доверительного интервала для числа успехов в схеме Бернулли.
40
Уравнение для кривой нормального распределения, которое де Муавр написал (в логарифмической форме) во втором издании своей книги по вероятности в 1738 году, таково:
где μ – среднее, а σ – стандартное отклонение.
41
Третью, последнюю версию работы можно найти на Google Books. De Moivre A. The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probabilities of Events in Play. The Third Edition. London: A. Millar, 1756.
42
Найдем вероятность двух тузов в пятикарточной руке. Вероятность того, что первой картой вам сдали туза, равна 4/52. Вероятность того, что после этого второй картой тоже сдали туза, равна 3/51 (в колоде осталась 51 карта, из которых три – тузы). Следующие три карты должны оказаться не тузами, вероятности чего равны 48/50, 47/49 и 46/48. Эти события должны произойти одновременно, поэтому их вероятности нужно перемножить. Однако мы учли пока всего лишь одно размещение двух тузов среди пяти карт (когда они находятся на первом и втором месте). Всего таких комбинаций 10, поэтому общая вероятность равна:
43
Формула по де Муавру выглядит как
44
Walker H. M. De Moivre on the law of normal probability, 2006 // semanticscholar.org/paper/DE-MOIVRE-ON-THE-LAW-OF-NORMAL-PROBABILITY-Walker/d40c10d50e86f0ceed1a059d81080a3bd9b56ffd#citing-papers>.
45
Если имеется случайная величина Χ, то ее k-м начальным моментом называется число v>k = E(Χ>k), где E – математическое ожидание. Аналогично k-м центральным моментом называется число μ>k = E((Χ – EΧ)>k). В частности, первый начальный момент Χ – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины, второй – ее дисперсия, третий характеризует степень симметричности распределения, а четвертый – эксцесс, то есть показывает, насколько остра вершина распределения.
46
Обзор истории центральной предельной теоремы можно найти в работе: Le Cam L. The central limit theorem around 1935 // Statistical Science. 1986, Vol. 1. No. 1. Pp. 78–91.
47
Статистика взята с сайта stats.nba.com/search/team-game/.
48
Just R. E., Weninger Q. Are crop yields normally distributed? // American Journal of Agricultural Economics. 1999. May. Vol. 81. No. 2. Pp. 287–304.
49
Если быть точнее, центральная предельная теорема говорит, что сумма случайных величин стремится к нормальному закону при числе слагаемых, стремящемся к бесконечности. При любом конечном числе слагаемых сумма лишь приблизительно является нормальной.
50
Сильвер Н. Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие – нет. М.: КоЛибри, 2015.
51
Поэтому стандартное отклонение σ = 0,71.
52
На самом деле ее преимущество может быть и больше 17, и меньше –11 пенсов, просто такие события выходят за рамки 95 %-го интервала, то есть имеют в совокупности вероятность менее 5 %. Мы считаем их маловероятными и пренебрегаем ими.
53
Эти величины дают нам число наблюдений, которое позволяет на 97,5 % (а не на 95 %) быть уверенными, что мы не сделаем ошибку и на самом деле h = 0 или меньше. Надежность в 97,5 % возникает, поскольку наш 95 %-й доверительный интервал покрывает и нижний, и верхний пределы для h. Существует также 2,5 %-й шанс, что мы недооценили наше преимущество и оно больше, чем дает наш доверительный интервал. Но при оценке выгодности игры недооценка преимущества роли не играет, так что значение имеют только те 2,5 %, что мы переоценили свое преимущество. Для этих величин также предполагается, что преимущество положительно, h > 0. Однако тот же результат получится при отрицательном преимуществе, если вместо h поставить – h.
54
Я проверил среднеквадратичное отклонение у нескольких гостиниц и обнаружил, что оно часто чуть меньше 1 – например, 0,8. Но для примерной оценки нам достаточно взять 1.
55
Arai M., Bursell M., Nekby L. The reverse gender gap in ethnic discrimination: employer stereotypes of men and women with Arabic names // International Migration Review. 2016. Vol. 50. No. 2. Pp. 385–412.
56
Никак не отрицая наличия расовых предрассудков в обществе, следует отметить, что предубеждения работодателя чаще экономические. Например, южане в шведском климате, вероятно, будут чаще болеть; мусульмане обязаны соблюдать пост длиной в месяц, который может отрицательно сказаться на их работоспособности. На работе скажется и низкий уровень владения шведским языком. Соответственно, иностранцу нужно лучшее резюме, которое перевесит опасения работодателя.
57
Bertrand M., Mullainathan S. Are Emily and Greg more employable than Lakisha and Jamal? A field experiment on labor market discrimination // American Economic Review. 2004. September. Vol. 94. No. 4. Pp. 991–1013.
58
Bailey Z. D., Krieger N., Agénor M. et al. Structural racism and health inequities in the USA: evidence and interventions // The Lancet. 2017. April. Vol. 389. No. 10077. Pp. 1453–1463.
59
Вот эмпирическое правило, которое я считаю полезным, но оно требует математического обоснования. Для примера пусть среди населения в целом представлена доля p людей определенного типа (например, белых). Дисперсия максимальна при p = 1/2, так что для всех значений p она не превосходит 1/2(1–1/2) = 1/4, и поэтому стандартное отклонение меньше 1/2. Поскольку 1,96 ≈ 2, то это означает, что доверительный интервал для выборочной доли
60
Этот вопрос обсуждается, например, в работе: Pearson K. Historical note on the origin of the Normal Curve of Errors // Biometrika. 1924, December. Vol. 16. No. 3–4. Pp. 402–404.
61
T. Zuberi, E. Bonilla-Silva, eds. White Logic, White Methods: Racism and Methodology. Lanham, MD: Rowman & Littlefield Publishers, 2008.
62
Staddon J. The devolution of social science // Quillette, 7 October 2018 // quillette.com/2018/10/07/the-devolution-of-social-science/.
63
Питерсон Дж. 12 правил жизни: Противоядие от хаоса. СПб.: Питер, 2019.
64
В действительности сложно делать выводы о количестве социологов, которые боятся высказать свое мнение: именно потому, что они молчат.
65
Например, в ноябре 2018 года в интервью для ток-шоу Skavlan, идущего на телевидении Норвегии и Швеции.
66
В этой сфере используется довольно сложная и интересная математика. Например, существуют два разных гендерных разрыва – нескорректированный и скорректированный. Первый – простая процентная разница в средней почасовой зарплате женщин и мужчин. Но нужно учитывать разное соотношение мужчин и женщин в конкретной профессии, меньшее среднее количество рабочего времени у женщин и т. д. По причине этого показатель корректируют, вводят «объяснимую» и «необъяснимую» части и т. д. Получить представление о ситуации в ЕС можно из документа комиссии ООН unece.org/fileadmin/DAM/stats/documents/ece/ces/ge.30/2019/mtg1/WP12_Alcantara_RUS.pdf.
67
Auspurg K., Hinz T., Sauer C. Why should women get less? Evidence on the gender pay gap from multifactorial survey experiments // American Sociological Review. 2017. Vol. 82. No. 1. Pp. 179–210.
68
Moss-Racusin C. A., Dovidio J. F., Brescoll V. L. et al. Science faculty’s subtle gender biases favor male students // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2012. October. Vol. 109. No. 41. Pp. 16474–16479.
69
Bettinger E. P., Long B. T. Do faculty serve as role models? The impact of instructor gender on female students // American Economic Review. 2005. May. Vol. 95. No. 2. Pp. 152–157.
70
Master A., Cheryan S., Meltzoff A. N. Computing whether she belongs: stereotypes undermine girls’ interest and sense of belonging in computer science // Journal of Educational Psychology. 2016. April. Vol. 108. No. 3. Pp. 424–437.
71
Ross J. A., Scott G., Bruce C. D. The gender confidence gap in fractions knowledge: gender differences in student belief – achievement relationships // School Science and Mathematics. 2012. May. Vol. 112. No. 5. Pp. 278–288.
72
Amanatullah E. T., Morris M. W. Negotiating gender roles: gender differences in assertive negotiating are mediated by women’s fear of backlash and attenuated when negotiating on behalf of others // Journal of Personality and Social Psychology. 2010. February. Vol. 98. No. 2. Pp. 256–267.
73
Всеобъемлющий обзор этих вопросов в математике и инжиниринге см. в двух работах: Cheryan S., Ziegler S. A., Montoya A. K., Jiang L. Why are some STEM fields more gender balanced than others? // Psychological Bulletin. 2017. January. Vol. 143. No. 1. Pp. 1–35; Ceci S. J., Ginther D. K., Kahn S., Williams W. M. Women in academic science: a changing landscape // Psychological Science in the Public Interest. 2014. November. Vol. 15. No. 3. Pp. 75–141.
74
Цит. по Friedersdorf C. Why can’t people hear what Jordan Peterson is saying? // The Atlantic, 22 January 2018 // theatlantic.com/politics/archive/2018/01/putting-monsterpaint-onjordan-peterson/550859/.
75
Хорошее научное введение в эту методологию – следующая работа: P. Hedström, P. Bearman, eds. The Oxford Handbook of Analytical Sociology. Oxford: Oxford University Press, 2011.
76
Rode J. C., Arthaud-Day M. L., Mooney C. H. et al. Ability and personality predictors of salary, perceived job success, and perceived career success in the initial career stage // International Journal of Selection and Assessment. 2008, September. Vol. 16. No. 3. Pp. 292–299.
77
Если вы педантично настаиваете на использовании информации от 63 до 37 %, это нормально, но тогда вам нужно быть последовательными в своем подходе. Вам нужно вернуться к предыдущей главе этой книги и применить уравнение суждений, когда вы беседуете с Джейн и Джеком. Вам нужно начать с модели М – «Джейн покладистее Джека» при P{M} = 63 %. Теперь войдите в комнату, улыбнитесь и поговорите с ними одинаково. Даже небольшой зрительный контакт и несколько фраз дадут вам изрядное количество данных Д об их покладистости. Теперь вы можете обновить P{M|Д} и сделать улучшенное суждение. Исходная вероятность P{M} быстро потеряет актуальность.
78
Интервью в ноябре 2018 года для ток-шоу Skavlan.
79
Цитаты взяты из поста Питерсона в блоге, опубликованного в феврале 2019 года: The gender scandal: part one (Scandinavia) and part two (Canada) // jordanbpeterson.com/political-correctness/thegender-scandal-part-one-scandinavia-and-part-two-canada/.
80
Hyde J. S. The gender similarities hypothesis // American Psychologist. 2005. September. Vol. 60. No. 6. Pp. 581–592.
81
Zell E., Krizan Z., Teeter S. R. Evaluating gender similarities and differences using metasynthesis // American Psychologist. 2015. January. Vol. 70. No. 1. Pp. 10–20.
82
Hyde J. S. Gender similarities and differences // Annual Review of Psychology. 2014. January. Vol. 65. Pp. 373–398.
83
Rippon G. The Gendered Brain: The New Neuroscience that Shatters the Myth of the Female Brain. London: Bodley Head, 2019.
84
В рамках песни слова My Way точнее переводить «по-своему».
85
Переведена на русский язык: Самптер Д. Футболоматика. Как благодаря математике «Барселона» выигрывает, Роналду забивает, а букмекеры зарабатывают состояния. М.: Бомбора, 2018.
86
Quant – разговорное сокращение от quantitative («количественный»).
87
Издана на русском языке: Айер А. Дж. Язык, истина и логика. М.: Канон+РООИ «Реабилитация», 2010.
88
Название дано в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова, который первым стал изучать случайные процессы и последовательности случайных величин, обладающие таким свойством. Они тоже носят его имя (марковские процессы и цепи Маркова).
89
Вы можете увидеть, как эту историю рассказывает сам Айер: A. J. Ayer on Logical Positivism and its legacy (1976) // youtube.com/watch?v=nG0EWNezFl4.
90
«Логико-философский трактат» был опубликован на немецком языке в 1921 году. В 1922-м появился английский перевод.
91
Этот показатель учитывает очки, набранные против конкретного защитника.
92
Отсылка к названию книги Майкла Льюиса Moneyball. (Переведена на русский язык: Льюис М. Moneyball. Как математика изменила самую популярную спортивную лигу в мире. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2013.) Но «Морибол» не просто стратегия опоры на трехочковые броски, а активное использование в игре сложной статистической аналитики.
93
Справедливости ради стоит сказать, что Бин тоже не сам вел расчеты: в «Атлетикс» этим занимался экономист Пол ДеПодест, прототип Питера Брэнда в фильме.
94
Reichard K. Measuring MLB’s winners and losers in costs per win // Ballpark Digest, 8 October 2013 // ballparkdigest.com/201310086690/major-league-baseball/news/measuring-mlbs-winner-and-losers-in-costs-per-win.
95
Лига плюща – группа из восьми частных престижных вузов на северо-востоке США (Йельский, Принстонский, Колумбийский, Пенсильванский, Корнеллский, Гарвардский, Брауновский университеты и Дартмутский колледж).
96
В бейсбольном матче участвуют две команды, которые по очереди играют в нападении и в защите. Игрок защищающейся команды (питчер) бросает мяч в сторону игрока противника (бьющего, или бэттера), который старается отбить мяч битой в поле. Если это удалось, бьющий может бежать по точкам, которые называются базами. Другие игроки защищающейся команды в поле стараются поймать мяч и разными способами не дать закончить такие пробежки. Побеждает команда, которая совершила больше пробежек. Реальная суть игры – противостояние питчера и бэттера: первый старается сделать сложный бросок, чтобы второму было труднее нанести хороший удар; бэттер старается выбить мяч как можно дальше.
97
Кража базы – одна из игровых ситуаций в бейсболе.
98
Матч в бейсболе обычно состоит из 9 периодов (иннингов). Каждый из них делится на две половины: половину времени каждая команда играет в защите, а половину – в нападении.
99
Lindsey G. R. An investigation of strategies in baseball // Operations Research. 1963. July – August. Vol. 11. No. 4. Pp. 477–501.
100
Schoenfeld B. How data (and some breathtaking soccer) brought Liverpool to the cusp of glory // New York Times Magazine, 22 May 2019 // nytimes.com/2019/05/22/magazine/soccer-dataliverpool.html.
101
Цвета «Манчестер Юнайтед» – красные, «Манчестер Сити» – голубые.
102
Если использовать данные автора о населении мира и Уппсалы более скрупулезно, то вероятность оказаться завтра в другом месте равна
103
Я использую данные о населении, взятые из следующего документа ООН: The World’s Cities in 2018 – Data Booklet (ST/ESA/SER.A/417), United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2018).
104
Кайли Дженнер – американская модель и бизнесвумен. Дуэйн «Скала» Джонсон – американский актер. Ариана Гранде – американская певица и актриса.
105
Дрейк – канадский рэпер, Новак Джокович – сербский теннисист, Снуп Дог – американский рэпер, Стефен Карри – американский баскетболист.
106
Фаррелл Уильямс – американский рэпер, Майли Сайрус – американская певица, Уиллоу Смит – американская актриса и певица, Зендая – американская актриса, модель и певица.
107
Матрицы умножаются так:
Попарно перемножаем элементы первой строки и вектора-столбца, а затем суммируем все такие произведения. Это дает нам первый элемент результирующего вектора-столбца (в нашем случае 0). Затем попарно перемножаем элементы второй строки и вектора-столбца, а потом суммируем все такие произведения и получаем второй элемент результирующего вектора (1/2), и т. д. В общем случае умножение производится по такому же правилу.
108
Чтобы узнать больше об этой теме, рекомендую книгу: Newman M. Networks, 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2018.
109
Feld S. L. Why your friends have more friends than you do // American Journal of Sociology. 1991. Vol. 96. No. 6. Pp. 1464–1477.
110
Узлы графа – люди в соцсети. Соединяющие их ребра изображают «подписанность» одного человека на другого. В узел графа, соответствующий мне, входят несколько ребер из других узлов (тех, кто подписан на меня), так что число моих подписчиков – это число входящих ребер. В свою очередь, из узла, изображающего меня, выходит несколько ребер, ведущих к узлам, соответствующим тем людям, на которых подписан я сам.
111
Сейчас я докажу этот результат более строго. Пусть P{X>i = k} – вероятность того, что человек i имеет k подписчиков. Пусть сначала мы выбираем человека j, а затем человека i из числа тех, на кого j подписан. С помощью теоремы Байеса (уравнение 2) мы можем вычислить вероятность:
Мы знаем, что P{j подписан на i|X>i = k} = k/N, где N – общее число ребер в графе. Поэтому
Таким образом, когда k > EX>i, то P{X>i = k|j подписан на i} > P{X>i = k}, и наоборот, когда k < EX>i, то P{X>i = k|j подписан на i} < P{X>i = k}. Это говорит нам, что случайно выбранный человек, на которого подписан другой случайно выбранный человек, вероятно, имеет больше подписчиков, чем просто случайно выбранный человек.
Чтобы показать, что случайно выбранный человек имеет меньше подписчиков, чем средний человек, на которого он подписан, мы вычисляем ожидаемое (среднее) количество подписчиков для всех людей, на которых подписан j. Оно определяется так:
Таким образом:
Поскольку E[X>i] = E[X>j] – одно и то же значение для всех людей в социальной группе, ожидаемое количество подписчиков j будет меньше, чем у i (при условии, что j подписан на i).
112
Hodas N. O., Kooti F., Lerman K. Friendship paradox redux: your friends are more interesting than you // Proceedings of the Seventh International AAAI Conference on Weblogs and Social Media, 2013.
113
Заблуждение «горячей руки» – представление, что успех в данный момент повышает шансы на успех в дальнейших попытках. Эффект присоединения к большинству – ориентация на мнение и поведение других. Ошибка выжившего – вид систематической ошибки отбора, когда есть данные только по одной группе объектов. Предвзятость подтверждения – склонность человека к подтверждению своей точки зрения, восприятию только той информации, которая согласуется с его точкой зрения. Эффект фрейминга – когнитивное искажение, когда форма подачи информации влияет на ее восприятие.
114
Она опубликована: Norrman M., Hahlin L. Hur tänker Instagram? En statistisk analys av två Instagramflöden [How does Instagram think? A statistical analysis of two Instagram accounts] (undergraduate dissertation). Mathematics department, University of Uppsala, 2019 // urn.kb.se/resolve?urn=urn: nbn: se: uu: diva-388141.
115
Törner A., Anitha Schulman: “Instagram går mot en beklaglig framtid” [Инстаграм ведет к несчастливому будущему]. Dagens Media, 5 March 2018 // dagensmedia.se/medier/anithaschulman-instagram-gar-mot-en-beklaglig-framtid-6902124 (Клеменс – фамилия Аниты Шульман после замужества).
116
Cotter K. Playing the visibility game: how digital influencers and algorithms negotiate influence on Instagram // New Media & Society. 2019. April. Vol. 21. No. 4. Pp. 895–913.
117
Page L. Method for node ranking in a linked database. US Patent 6,285,999 B1, issued 4 September 2001 // patentimages.storage.googleapis.com/37/a9/18/d7c46ea42c4b05/US6285999.pdf.
118
Вероятно, речь о Даниэле Канемане, авторе книги «Думай медленно… решай быстро» (М.: АСТ, 2013). Прим. ред.
119
Если время (как в нашем случае) дискретно, то ε>t – последовательность случайных величин; если непрерывно, то ε>t – случайный процесс.
120
См., например, работу: Bouchaud J.-P. Power laws in economics and finance: some ideas from physics // Quantitative Finance. 2000. September. Vol. 1. No. 1. Pp. 105–112; Mantegna R. N., Stanley H. E. Turbulence and financial markets // Nature. 1996. October. Vol. 383. No. 6601. P. 587.
121
На самом деле центральная предельная теорема верна не только для независимых, но и для слабо зависимых случайных величин.
122
Обратите внимание, что √–n = n>1/2. Поэтому n>2/3 больше, чем n>1/2, когда n > 1.
123
Талеб Н. Н. Одураченные случайностью. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2010; Талеб Н. Н. Черный лебедь. М.: КоЛибри, 2015; Шиллер Р. Иррациональный оптимизм. М.: Альпина Паблишер, 2017.
124
Cutler D. M., Poterba J. M., Summers L. H. What moves stock prices? // NBER Working Paper No. 2538, National Bureau of Economic Research, March 1988.
125
Tetlock P. C. Giving content to investor sentiment: the role of media in the stock market // Journal of Finance. 2007. Vol. 62. No. 3. Pp. 1139–1168.
126
Antweiler W., Frank M. Z. Is all that talk just noise? The information content of Internet stock message boards // Journal of Finance. 2004. Vol. 59. No. 3. Pp. 1259–1294.
127
Detrixhe J. Don’t kid yourself – nobody knows what really triggered the market meltdown // Quartz, 13 February 2018 // qz.com/1205782/nobody-really-knows-why-stock-markets-went-haywire-last-week/.
128
Он опубликовал свои результаты в следующей статье: Laughlin G. Insights into high frequency trading from the Virtu initial public offering // online.wsj.com/public/resources/documents/VirtuOverview.pdf; см. также Hope B. Virtu’s losing day was 1-in-1,238: odds say it shouldn’t have happened at all // Wall Street Journal, 13 November 2014 // blogs.wsj.com/moneybeat/2014/11/13/virtus-losing-day-was-1-in-1238-odds-says-it-shouldnt-have-happened-at-all/.
129
Mamudi S. Virtu touting near-perfect record of profits backfired, CEO says // Bloomberg News, 4 June 2014 // bloomberg.com/news/2014-06-04/virtu-touting-near-perfect-record-of-profits-backfired-ceo-says.html.
130
Имеется перевод на русский язык: Льюис М. Flash Boys: Высокочастотная революция на Уолл-стрит. М.: Альпина Паблишер, 2015.
131
444 000 / 0,0027 = 164 444 444.
132
В целях защиты личных данных имя изменено.
133
Krugman P. Three Expensive Milliseconds // New York Times, 13 April 2014 // nytimes.com/2014/04/14/opinion/krugman-three-expensive-milliseconds.html.
134
Подробности см.: medium.com/me/stats/post/2904fa0571bd.
135
Число r>X.Y, определяемое уравнением 7, называется выборочным коэффициентом корреляции. Он соответствует коэффициенту корреляции для случайных величин X и Y, определяемому как
136
Здесь нужно заметить, что корреляционная зависимость и математическая зависимость случайных величин – разные вещи. Действительно, если коэффициент корреляции для случайных величин X и Y равен 1 (или –1), это означает их сильную зависимость; отсюда следует линейная зависимость X = aY + b. Однако если коэффициент корреляции равен 0, это ничего не говорит о независимости случайных величин X и Y. Даже зависимые случайные величины вполне могут иметь r>X,Y = 0, и поэтому малое значение коэффициента корреляции еще ничего не значит. А вот обратное верно всегда: если случайные величины X и Y независимы, то r>X,Y = 0.
137
Snapchat Marketing. The 17 types of Snapchat users, 7 June 2016 // snapchatmarketing.co/types-of-snapchat-users/.
138
«Брит-поп» – движение в британской музыкальной культуре 1990-х, возрождавшее гитарный стиль рок-музыки 1960-х.
139
Rosenberg N. A., Pritchard J. K., Weber J. L. et al. Genetic structure of human populations // Science. 2002. December. Vol. 298. No. 5602. Pp. 2381–2385.
140
Laughlin S. Gen Z goes beyond gender binaries in new Innovation Group data // J. Walter Thompson Intelligence, 11 March 2016 // jwtintelligence.com/2016/03/gen-z-goes-beyond-gender-binaries-in-new-innovation-group-data/.
141
См., например, Inglehart R., Baker W. E. Modernization, cultural change, and the persistence of traditional values // American Sociological Review. 2000. February. Vol. 65. No. 1. Pp. 19–51.
142
Inglehart R., Welzel C. Modernization, Cultural Change, and Democracy: The Human Development Sequence. Cambridge: Cambridge University Press, 2005.
143
Dillon M. Asynchrony in attitudes toward abortion and gay rights: the challenge to values alignment // Journal for the Scientific Study of Religion. 2014. March. Vol. 53. No. 1. Pp. 1–16.
144
Lambrecht A., Tucker C. E. On storks and babies: correlation, causality and field experiments // GfK Marketing Intelligence Review. 2016. November. Vol. 8. No. 2. Pp. 24–29.
145
Sumpter D. Outnumbered: From Facebook and Google to Fake News and Filter-Bubbles – The Algorithms that Control Our Lives. London: Bloomsbury Publishing, 2018.
146
Эхо-камера – ситуация, когда человек окружен людьми, взгляды которых совпадают с его собственными (например, внутри субкультуры или среди друзей в соцсети). В этом закрытом пузыре общие идеи ходят по кругу, все друг с другом соглашаются, а альтернативная информация внутрь не попадает.
147
В оригинале использован каламбур – mass и math. Русский перевод вышел под названием: «Убийственные большие данные. Как математика превратилась в оружие массового поражения». М.: АСТ, 2017.
148
О’Нил К. Убийственные большие данные. Как математика превратилась в оружие массового поражения. М.: АСТ, 2018.
149
Cadwalladr C. Google, democracy and the truth about internet search // The Guardian, 4 December 2016 // theguardian.com/technology/2016/dec/04/google-democracy-truth-internet-search-facebook.
150
Caliskan A., Bryson J. J., Narayanan A. Semantics derived automatically from language corpora contain human-like biases // Science. 2017. Vol. 356. No. 6334. Pp. 183–186.
151
Angwin J., Tobin A., Varner M. Facebook (still) letting housing advertisers exclude users by race // ProPublica, 21 November 2017 // propublica.org/article/facebook-advertising-discrimination-housing-race-sex-national-origin.
152
Lambrecht A., Tucker C., Wiertz C. Advertising to early trend propagators: evidence from Twitter // Marketing Science. 2018, March. Vol. 37. No. 2. Pp. 177–199.
153
Robbins H., Monro S. A stochastic approximation method // Annals of Mathematical Statistics. 1951. September. Vol. 22. No. 3. Pp. 400–407.
154
Schultz W. Predictive reward signal of dopamine neurons // Journal of Neurophysiology. 1998. July. Vol. 80. No. 1. Pp. 1–27.
155
Przybylski A. K., Rigby C. S., Ryan R. M. A motivational model of video game engagement // Review of General Psychology. 2010. June. Vol. 14. No. 2. Pp. 154–166.
156
Dr Emily Collins speaking about digital games and mindfulness apps, EurekAlert! University of Bath // eurekalert.org/multimedia/pub/207686.php.
157
Kálmán R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering. 1960. Vol. 82. No. 1. Pp. 35–45.
158
Auger F., Hilairet M., Guerrero J. M. et al. Industrial applications of the Kálmán filter: a review // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2013. December. Vol. 60. No. 12. Pp. 5458–5471.
159
Flügge-Lotz I., Taylor C. F., Lindberg H. E. Investigation of a Nonlinear Control System, Report 1391 for the National Advisory Committee for Aeronautics. Washington DC: US Government Printing Office, 1958.
160
Один из самых авторитетных специалистов в этой области, формализовавший модель, – Жан-Луи Денебург. Исходной точкой была работа: Goss S., Aron S., Deneubourg J.-L., Pasteels J. M. Self-organized shortcuts in the Argentine ant // Naturwissenschaften. 1989. Vol. 76. No. 12. Pp. 579–581.
161
Мы можем переписать это уравнение для другой отслеживающей переменной. Оно будет выглядеть так и описывать вознаграждения для альтернативного варианта:
162
См., например, работы: Гладуэлл М. Переломный момент. Как незначительные изменения приводят к глобальным переменам. М.: Альпина Паблишер, 2016; Болл Ф. Критическая масса. Как одни явления порождают другие. М.: Гелиос, 2008.
163
Dussutour A., Nicolis S. C., Shephard G. et al. The role of multiple pheromones in food recruitment by ants // Journal of Experimental Biology. 2009. August. Vol. 212. No. 15. Pp. 2337–2348.
164
Harris T. How technology is hijacking your mind – from a magician and Google design ethicist // Medium, 18 May 2016 // medium.com/thrive-global/how-technology-hijacks-peoples-minds-from-amagician-and-google-s-design-ethicist-56d62ef5edf3.
165
Krebs J. R., Kacelnik A., Taylor P. D. Test of optimal sampling by foraging great tits // Nature. 1978. September. Vol. 275. No. 5675. Pp. 27–31.
166
Make America Great Again («Вернем Америке былое величие») – слоган Трампа во время рекламной кампании 2016 года.
167
Loader B. D., Vromen A., Xenos M. A. The networked young citizen: social media, political participation and civic engagement // Information, Communication & Society. 2014. January. Vol. 17. No. 2. Pp. 143–150.
168
Этот вопрос активно изучала Анна Дорнхаус. Одна из работ: Charbonneau D., Hillis N., Dornhaus A. “Lazy” in nature: ant colony time budgets show high “inactivity” in the field as well as in the lab // Insectes Sociaux. 2014. February. Vol. 62. No. 1. Pp. 31–35.
169
В фильмах Спайка Джонза Her («Она») и Алекса Гарленда Ex machina («Из машины») речь идет об искусственном интеллекте.
170
Covington P., Adams J., Sargin E. Deep neural networks for YouTube recommendations. Conference paper, Proceedings of the 10th ACM Conference on Recommender Systems, September 2016. Pp. 191–198.
171
Снова отметим, что это выражение формально уравнением не является.
172
Градиент – векторная величина, показывающая направление наибольшего возрастания исходной числовой величины.
173
Либо градиентным спуском, если нам нужен минимум (в этом случае мы двигаемся по антиградиенту).
174
O‘Neil-Hart C., Blumenstein H. The latest video trends: where your audience is watching // Google, Video, Consumer Insights // thinkwithgoogle.com/consumer-insights/video-trends-where-audience-watching/.
175
Stokel-Walker C. Algorithms won’t fix what’s wrong with You-Tube // The New York Times, 14 June 2019 // nytimes.com/2019/06/14/opinion/youtube-algorithm.html>.
176
Здесь термин употреблен не в математическом смысле. Градиент – направление максимального изменения величины, но очевидно, что терять подписчиков можно и быстрее.
177
Проблема здесь в том, что, поднимаясь по градиенту, вы можете найти точку локального максимума, а не глобального.
178
Название канала означает примерно «Рукоделки за 5 минут». Существуют также ответвления канала (5-minute Crafts Family, 5-minute Crafts Like, 5-minute Crafts Recycle и т. п.) и версии на других языках; русскоязычная – «Бери и делай». Помимо огромного числа подписчиков (более 70 млн на конец марта 2021 года только на основном канале) более всего известен нерабочими лайфхаками, а также многочисленными проверками-«разоблачениями» от разных блогеров (по сути, «разоблачения» можно уже считать отдельным жанром роликов на платформе). Прим. ред.
179
Название канала означает «Произошло на самом деле».
180
Название канала означает примерно «Кабина историй». Этим словом в США назывались маленькие общедоступные студии звукозаписи, где можно было записать свою историю. Первая кабина появилась в 2003 году.
181
Orphanides K. G. Children’s YouTube is still churning out blood, suicide and cannibalism // Wired, 23 March 2018 // wired.co.uk/article/youtube-for-kids-videos-problems-algorithm-recommend.
182
Fisher M., Taub A. On YouTube’s digital playground, an open gate for pedophiles // New York Times, 3 June 2019 // nytimes.com/2019/06/03/world/americas/youtube-pedophiles.html?module=inline.
183
Silver D., Huang A., Maddison C. J. et al. Mastering the game of Go with deep neural networks and tree search // Nature. 2016. January. Vol. 529. No. 7587. Pp. 484–489.
184
Другое уравнение, которое называется Softmax, очень похоже на уравнение 1, но в некоторых ситуациях с ним работать проще. В большинстве случаев Softmax и уравнение 1 взаимозаменяемы. (Softmax – обобщение логистической функции для многомерного случая. Прим. пер.)
185
Для сравнения: число атомов во Вселенной, по разным оценкам, составляет от 10>78 до 10>82. Иными словами, даже если бы существовало столько вселенных, сколько атомов в нашей, во всех таких вселенных вместе все равно было бы гораздо меньше атомов, чем это число.
186
Mnih V., Kavukcuoglu K., Silver D. et al. Human-level control through deep reinforcement learning // Nature. 2015. February. Vol. 518. No. 7540. Pp. 529–533.
187
Mikolov T., Karafiát M., Burget L. et al. Recurrent neural network based language model. Conference paper, Interspeech 2010, Eleventh Annual Conference of the International Speech Communication Association, Japan, September 2010.
188
Это также не уравнение в обычном смысле слова.
189
Misa T. J., Frana P. L. An interview with Edsger W. Dijkstra // Communications of the ACM. 2010. Vol. 53. No. 8. Pp. 41–47.
190
Ассоциация вычислительной техники (Association for Computing Machinery) – международная организация в сфере компьютерной техники.
191
См. превосходную книгу: Cormen T. H., Leiserson C. E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to Algorithms, 3rd edition. Cambridge, MA: MIT Press, 2009.
192
Что тоже не совсем справедливо, поскольку в работах Эйлера этого равенства нет, хотя оно мгновенно следует из имеющейся там формулы e>i>x = cosx + isinx. Однако задолго до Эйлера Роджер Котс предложил геометрическое рассуждение, из которого следует эквивалентная формула ix = ln(cosx + isinx).
193
Loh P.-S. The Most Beautiful Equation in Math, video, Carnegie Mellon University, March 2016 // youtube.com/watch?v=IUTGFQpKaPU.
194
Подразумевается треугольник в евклидовой геометрии.
195
Rogers B. A. J. Ayer: A Life. London: Chatto and Windus, 1999.
196
Foot P. The problem of abortion and the doctrine of double effect // Oxford Review. 1967. Vol. 5. Pp. 5–15.
197
Ahlenius H., Tännsjö T. Chinese and Westerners respond differently to the trolley dilemmas // Journal of Cognition and Culture. 2012. January. Vol. 12. No. 3–4. Pp. 195–201.
198
Mikhail J. Universal moral grammar: theory, evidence and the future // Trends in Cognitive Sciences. 2007. April. Vol. 11. No. 4. Pp. 143–152.
199
Thomson J. J. Killing, letting die, and the trolley problem // The Monist. 1976. Vol. 59. No. 2. Pp. 204–217. Описание проблемы вагонетки в основном тексте взято из этой статьи.
200
Больше о философских аспектах проблемы вагонетки и идее моральной интуиции можно прочитать в статье: D‘Olimpio L. The trolley dilemma: would you kill one person to save five? // The Conversation, 3 June 2016 // theconversation.com/the-trolley-dilemma-would-you-kill-one-person-to-save-five-57111.
201
В главе 3 и главе 5, излагая историю «Десятки», я не до конца объяснил, почему рассуждение Ричарда Прайса о чудесах было ложным. Научные доказательства против чудес, например Воскресения, исходят из базового понимания биологии, а не из того, что никто не совершил этого за 2000 лет после сообщений об Иисусе Христе. Нам следует рассматривать взгляд Прайса не как доказательство, что Воскресение могло быть, а как способ укрепить наши представления о доказательствах. Его рассуждение дает нам реальный и важный повседневный урок: тот факт, что мы не видели редкого события в прошлом, нельзя использовать как доказательство, что его не произойдет в будущем. Воскресение не выдерживает научного анализа, сочетающего данные и модель. Его можно объяснить только тем, что Иисус не был мертв либо о его смерти было неверно сообщено.
202
Spaiser V., Hedström P., Ranganathan S. et al. Identifying complex dynamics in social systems: a new methodological approach applied to study school segregation // Sociological Methods & Research. 2018. March. Vol. 47. No. 2. Pp. 103–135.
203
Вычисления Анны – часть следующей работы: UK’s carbon footprint 1997–2016: annual carbon dioxide emissions relating to UK consumption, 13 December 2012, Department for Environment, Food & Rural Affairs // gov.uk/government/statistics/uks-carbon-footprint.
