Числа: от арифметики до высшей математики - [8]
В случае (+5) + (-2) это менее очевидно. Мы прибавляем число, а это означает движение вверх по шкале, но мы прибавляем отрицательное число, то есть совершаем обратное действие, и эти два фактора, взятые вместе, означают, что нам надо двигаться не вверх по шкале, а в обратном направлении, то есть вниз.
Таким образом, мы опять получаем ответ +3.
Почему, собственно, нужно заменять вычитание сложением? Зачем двигаться вверх «в обратном смысле»? Не проще ли просто двигаться вниз? Причина заключается в том, что в случае сложения порядок слагаемых не имеет значения, в то же время в случае вычитания он очень важен.
Мы уже выяснили раньше, что (+5) - (+2) — это совсем не то же самое, что (+2) - (+5). В первом случае ответ +3, а во втором -3. С другой стороны, (-2) + (+5) и (+5) + (-2) в результате дают +3. Таким образом, переходя на сложение и отказываясь от операций вычитания, мы можем избежать случайных ошибок, связанных с перестановкой слагаемых.
Аналогично можно действовать при вычитании отрицательного числа. (+5) - (-2) — это то же самое, что (+5) + (+2). И в том и в другом случае мы получаем ответ +7. Мы начинаем с точки +5 и двигаемся «вниз в обратном направлении», то есть вверх. Точно так же мы бы действовали, решая выражение (+5) + (+2).
Замену вычитания сложением ученики активно используют, когда начинают изучать алгебру, и поэтому эта операция называется «алгебраическим сложением». На самом деле это не совсем справедливо, поскольку такая операция, очевидно, является арифметической, а совсем не алгебраической.
Глава 3
В ОБХОД «СЛОЖЕНИЯ»
Предположим, мы нарисовали квадрат со стороной в 1 дюйм. Такой квадрат можно назвать квадратным дюймом и использовать его как единицу площади.
Теперь нарисуем квадрат со стороной 2 дюйма, затем разделим каждую сторону пополам и разделим квадрат на четыре части. Каждая часть будет представлять собой 1 квадратный дюйм. Проделаем такую же операцию с квадратом со стороной 3 дюйма, но на этот раз каждую сторону разделим на три части. В результате мы получим 9 квадратов площадью 1 квадратный дюйм каждый.
Затем такую же операцию произведем с прямоугольником длиной 9 дюймов и шириной 6 дюймов. После деления мы получим 54 квадрата площадью по 1 квадратному дюйму. Все эти действия показаны на рисунке.
В каждом случае квадраты по 1 квадратному дюйму расположены в горизонтальных рядах и вертикальных столбцах.
Количество квадратов в столбце соответствует длине квадрата или прямоугольника в дюймах, а количество квадратов в ряду — ширине квадрата или прямоугольника в дюймах.
В квадрате площадью 2 квадратных дюйма в каждом из двух столбцов — по два однодюймовых квадрата, 2 + 2 = 4. В трехдюймовом квадрате три столбика, содержащие по три однодюймовых квадрата, 3 + 3 + 3 = 9. В прямоугольнике 6 × 9 мм в каждом из 6 столбцов содержится по 9 однодюймовых квадратов, 9 + 9 + 9 + 9 + + 9 + 9 = 54. Можно просчитать прямоугольник по строкам. В каждой из 9 строк содержится по 6 однодюймовых квадратов, 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 54.
В общем виде процедура вычисления площадей геометрических фигур заключается в повторном сложении. В случае квадратов и прямоугольников такие вы- числения предельно просты. В случае треугольников и кругов — несколько сложнее. В случае площадей неправильной формы это уже достаточно сложная процедура. Однако площади умели вычислять еще в древних сельскохозяйственных цивилизациях (не будем сейчас обсуждать нашу высокотехнологичную цивилизацию). Уже в глубокой древности производили обмеры земельных участков и вычисляли их площади, как минимум, для того, чтобы определить сумму налога с участка. (У меня вообще есть подозрение, что в древности именно необходимость расчета налогообложения, а не что-либо другое, способствовала интенсивному развитию арифметики.)
Если необходимость повторного счета способствовала созданию операции сложения, то необходимость повторного сложения привела к возникновению нового вида операций с числами.
Начнем с того, что примем новое обозначение и запишем выражение «шесть раз по девять» как 6x9. Значок «х» называется знаком умножения. Такая запись означает, что складывают девять раз по шесть или шесть раз по девять. Как я уже показал на предыдущем примере и как вы можете убедиться самостоятельно, просчитав свой собственный пример, неважно, какую из двух операций вы сделаете: 6 × 9 = 9 × 6.
Используя это новое наблюдение, мы можем сформулировать общее правило для вычисления площади квадрата или прямоугольника. Площадь этих фигур равна произведению длины на ширину. Следующий необходимый шаг — найти простой способ осуществления операций умножения. Конечно, мы всегда можем воспользоваться повторным сложением, но такой способ неудобен и в случае больших чисел неэффективен.
Скажем, надо вычислить площадь прямоугольного участка размером 129 футов на 54 фута. Нам понадобится перемножить 129 на 54 или 54 на 129, чтобы получить ответ (в данном случае уже в квадратных футах, а не в квадратных дюймах). Это означает, что нам либо надо просуммировать сто двадцать девять раз число 54, либо, наоборот, пятьдесят четыре раза просуммировать число 129. И то и другое достаточно утомительно.
