Большая Советская Энциклопедия (СР) - [35]
Средние
Сре'дние, средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.
1) Средним для данной группы чисел x>1, x>2,..... x>n называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: арифметическое среднее
Если все числа x>i (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого a ¹ 0 определить степенное С.
частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s >(а равняется a, h и q соответственно при a = 1, —1 и 2. При a ® 0 степенное С, s>a стремится к геометрическому С., так что можно считать s>0 = g. Важную роль играет неравенство s>a £ s>b, если a £ b, в частности
h £ g £ a £ q.
Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы
где f>-1(h) — функция, обратная к f (x) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (x). Так, арифметическое С. получается, если f(x)= x, геометрическое С. — если f (x) = log x, гармоническое С. — если f (x) = 1/x, квадратичное С. — если f (x) = x>2.
Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.
в частности при a = 1,
которые переходят в обыкновенные степенные С. при р>1 = р>2 =... = p>n. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).
2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a>1 и геометрическое С. g>1. Затем для пары a>1, g>1 снова находятся арифметическое С. a>2 и геометрическое С. g>2 и т.д. Общий предел последовательностей a>n и g>b, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.
3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) — f (a) = (b—a) f’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а j(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что
В частности, если j(x) = 1, то
Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину
Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
Средние века
Сре'дниевека', средневековье, принятое в исторической науке обозначение периода всемирной истории, следующего за историей древнего мира и предшествующего новой истории. Понятие С. в. (лат. medium aevum, буквально — средний век) появилось в 15—16 вв. у итальянских историков-гуманистов (Ф. Бьондо и др.), утвердилось в науке с 18 в. Марксистская историческая наука рассматривает С. в. как эпоху зарождения, развития и разложения феодализма, рубежом между древностью и С. в. считает крушение рабовладельческой Римской империи (условная дата — 476), между С. в. и новой историей — Английскую буржуазную революцию 17 в. Термин «С. в.», возникший применительно к истории стран Западной Европы, употребляется и по отношению к др. регионам мира (хотя эпоха средневековья и время существования в них феодализма не всегда совпадают). Наука, изучающая историю С. в., — медиевистика.
«Средние века»
«Сре'дние века'», научные сборники по истории средних веков. Издаются Институтом всеобщей истории АН СССР. Выходят с 1942 в Москве. Публикуются исследовательские статьи, рецензии и аннотации, библиографические обзоры, переводы средневековых источников. Имеются разделы «Медиевистика в высшей школе», «Хроника». До 1976 вышло 39 выпусков. Тираж (1975) 1750 экз.
Средние величины
Сре'дние величи'ны в статистике, обобщённые типические характеристики качественно однородных и количественно отличающихся друг от друга величин. К. Маркс писал: «В каждой отрасли промышленности индивидуальный рабочий, Петр или Павел, более или менее отклоняется от среднего рабочего. Такие индивидуальные отклонения, называемые на языке математиков „погрешностями", взаимно погашаются и уничтожаются, раз мы берем значительное число рабочих» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 23, с. 334). Важная роль, которую играют С. в., видна, например, из того, что средний труд входит в определение стоимости; в анализе нормы прибыли большое значение имеет средний органический состав капитала; при определении амортизации исходят из среднего срока службы данного вида оборудования и т.д. Существуют различные типы С. в. (см.
