Большая Советская Энциклопедия (ЛО) - [17]

Логарифми'ческая фу'нкция,функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

  y = lnx; (1)

  её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

  х = е^у (2)

  (е — неперово число). Т. к. e^y > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

  y = log_aX,

  где а > 0 (а ¹ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log_aX приводится к ней по формуле:

  log_ax = MInX,

  где М = 1/In а. Л. ф. — одна из основных элементарных функций; её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

  Inx+lny = lnxy.

  Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

  ln(1 + x) = x

  Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

 

,

 

.

  Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

  Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером(1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда

.

  Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

  Inz = In½z½+ i arg z,

  где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

  Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

  Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

 

.

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

Логарифмические таблицы

Логарифми'ческие табли'цы,таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10^kN (при k целом) различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10^kN = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = - 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной мантиссы и отрицательной характеристики).

  Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс. Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, позволяющие без большого труда вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л. т. часто приводятся таблицы антилогарифмов — чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы тригонометрических величин.

  Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 10⁷, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 10⁷ был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10⁷, у него положительны. Непер не ввёл понятия об основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях приблизительно равен

. Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

  «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) Бюрги представляют собой первую таблицу антилогарифмов («чёрные числа») и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам («красным числам»). «Красные числа» Бюрги суть логарифмы поделенных на 10⁸ «чёрных чисел» при основании, равном

. Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера английский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы иногда называют бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега в 1783 — пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 немецкий математик К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л. Ф.