Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - [43]

Фурье интеграл

Фурье' интегра'л, формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x ) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд ) и если сходится

,

то

.     (1)

  Эта формула впервые встречается при решении некоторых задач теплопроводности у Ж. Фурье (1811), но её доказательство было дано позже другими математиками. Формулу (1) можно представить также в виде

,     (2)

где

;

.

  В частности для чётных функций

,

где

.

  Формулу (2) можно рассматривать как предельную форму ряда Фурье для функций, имеющих период 2T , когда Т ® ¥. При этом а (u ) и b (u ) аналогичны коэффициентам Фурье функции f (x ). Употребляя комплексные числа, можно заменить формулу (1) формулой

.

  Формулу (1) можно преобразовать также к виду

     (3)

(простой интеграл Фурье).

  Если интегралы в формулах (2), (3) расходятся (см. Несобственные интегралы ), то во многих случаях их можно просуммировать к f (x ) при помощи того или иного метода суммирования . При решении многих задач используются формулы Ф. и. для функций двух и большего числа переменных.

  Лит.: Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М. — Л., 1948.

Фурье коэффициенты

Фурье' коэффицие'нты, коэффициенты

     (*)

разложения функции f (x) , имеющей период 2T , в ряд Фурье (см. Фурье ряд ). Формулы (*) называют формулами Эйлера — Фурье. Непрерывная функция f (x ) однозначно определяется своими коэффициентами Фурье. Ф. к. интегрируемой функции f (x ) стремятся к нулю при n ® ¥, причём скорость их убывания зависит от дифференциальных свойств функции f (x ). Например, если f (x ) имеет k непрерывных производных, то существует такое число с , что |a_n | £ c/n^k , |b_n | £ c/n^k . Ф. к. связаны с f (x ) также следующим неравенством:

(см. Парсеваля равенство ). Ф. к. функции f (x ) по любой нормированной ортогональной на отрезке [а , b ] системе функций j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ),... (см. Ортогональная система функций ) равны

.

Фурье метод

Фурье' ме'тод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения

 при краевых условиях u (0, t ) = u (l , t ) = 0 и начальных условиях u (x ,0) = f (x ); u'_t (x , 0) = F (x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X (x ) T (t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

  Выбирая соответствующим образом коэффициенты A_n и B_n , можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

  Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Фурье преобразование

Фурье' преобразова'ние (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x ) формулой:

,     (1)

  Если функция f (x ) чётная, то её ф. п. равно

     (2)

(косинус-преобразование), а если f (x ) — нечётная функция, то

     (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

,     (4)

а для нечётных функций

.     (5)

  В общем случае имеет место формула

.     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x ). Например, Ф. п. f '(x ) является iug (u ). Если

,     (7)

то g (u ) = g₁ (u ) g₂ (u ). Для f (x + а ) Ф. п. является e^iua g (u ), а для c₁ f₁ (x ) + c₂ f₂ (x ) — функция c₁ g₁ (u ) + c₂ g₂ (u ).

  Если существует

, то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций .

  Если функция f (x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях