Азбука рисунков природы - [9]

Рис. 18

Рассмотренные примеры показали нам появление закономерной пространственной упорядоченности в результате явлений, изменяющихся во времени и пространстве непериодически.

Теперь рассмотрим подобный пример, но с нелинейным законом разгрузки напряжений. Примем те же условия, что и в предыдущей модели, но зададим, что бесконечный брусок жестко закреплен к недеформируемому основанию. Зададим также, что он охлаждается с поверхности, в его основании температура не меняется, а изменение температуры в толще бруска подчиняется линейному закону (это задача, которую рассматривал Б. Н. Достовалов).

При охлаждении в бруске возникают растягивающие напряжения, они также будут изменяться по линейному закону. У поверхности они равны σ_x = EαΔt (Δt — величина охлаждения поверхности), у основания бруска — нулю. Так как температурное растяжение бруска по длине равномерно, то никаких сдвигов как внутри бруска, так и относительно жесткого основания не происходит, касательных напряжений не возникает. Напряженные слои бруска как бы пассивно лежат один на другом и на основании. Растягивающие напряжения в них уравновешиваются внутренним сцеплением. При достижении напряжениями предела длительной прочности (σ_x = σ_пред) образуется разрыв. Вблизи него растягивающие напряжения перестают сдерживаться силами внутреннего сцепления, и берега разрыва под действием растягивающих напряжений стремятся разойтись. Но так как его основание закреплено жестко, то смещается лишь его верхняя часть. В итоге, вблизи разрыва происходит сдвиг бруска (рис. 19).

Рис. 19

Введем допущение, что вертикальные деформации в бруске отсутствуют — сдвиг плоскопараллельный. Выделим вблизи разрыва элементарный отрезок бруска шириной Δx. К одной его вертикальной грани приложена сила F_x = σ_xh/2, к другой — F_x-Δx = σ_x-Δxh/2, их результирующая ΔF_x = Δσ_xh/2 уравновешивается касательными напряжениями внутри элементарного бруска, сумму которых можно представить касательной силой Q_x, приложенной к верхней грани элементарного бруска. Запишем закон Гука для сдвига: Q_x = ΔxGS_x/h, где G — модуль сдвига, S_x — абсолютный сдвиг. Приравняв действующие силы, получаем:

Δσ_xh/2 = ΔxGS_x/h или dσ_x/dx = -2GS_x/h².

Величину сдвига верхней части элементарного бруска S можно определить, рассчитав, насколько в сумме сократилась длина части бруска, лежащая вправо от элементарного бруска. Эту часть также разобьем на элементарные бруски шириной Δx. После образования разрыва верхняя грань каждого из них в соответствии с законом Гука сжалась на величину Δl = Δx(σ_пред - σ_x)/Е. Запишем dl = (σ_пред - σ_x) dx/E. В итоге, после интегрирования получаем сдвиг элементарного бруска:

Подставив это выражение в полученное выше равенство, получим уравнение

Его решение, с учетом того, что в точке разрыва нормальные растягивающие напряжения отсутствуют, дает зависимость

В итоге получаем, что после образования трещины напряжения у ее края равны нулю, а при удалении экспоненциально асимптотически увеличиваются, стремясь на бесконечности к величине, равной напряжениям в ненарушенном массиве. В данном случае — к напряжениям, равным прочности бруска на разрыв (см. рис. 19, в), т. е. четкую зону разгрузки выделить нельзя, теоретически трещина разгружает в той или иной степени весь массив. Если так, то в нашей модели вторая трещина, если температура не снижается, должна возникнуть на бесконечном расстоянии от первой. Но при удалении от трещины напряжения растут очень быстро, и на расстоянии, в несколько раз превышающем глубину трещины, разгрузка напряжений почти незаметна. Но продолжим рассматривать идеальную схему.

Примем, что однородный брусок имеет конечные размеры, тогда у его краев будет происходить разгрузка напряжений так же, как будто брусок ограничен трещинами. Края разгружают весь массив, чем дальше от них, тем в меньшей степени. Максимальные напряжения при этом будут наблюдаться в центре бруска, и при снижении его температуры здесь возникнет трещина. При большем снижении температуры эти два бруска, в свою очередь, разорвутся пополам трещинами новой генерации. Еще большее снижение приводит к образованию еще одной генерации и т. д. Глубина проникновения трещин в нашем примере одинакова — трещина проникает до основания бруска. В отличие от предыдущего примера, когда новые генерации появлялись при снижении прочности, в этом ширина всех трещин будет одинаковой. Первоначальные более широкие трещины с появлением соседних будут немного закрываться. В итоге мы получим строго упорядоченный рисунок.

Изменим условия эксперимента. Начнем охлаждать протяженный брусок, имея максимум охлаждения в центре (рис. 20, а). Здесь напряжения в первую очередь достигнут величины, равной прочности, и появится трещина. Ее появление приведет к формированию вокруг двух новых максимумов напряжений (см. рис. 20, б). Последующее охлаждение бруска приведет к заложению в этих точках новых трещин. Соответственно уже рядом с ними появятся новые максимумы напряжений (см. рис. 20, в) и т. д. Если наклон кривой функции напряжений при этом в ходе их наращивания не изменится, то в итоге появится пространственная периодическая структура.