Апология математики, или О математике как части духовной культуры - [29]
Несколько слов о трёхмерных многообразиях. Шар вместе со сферой, служащей его поверхностью, представляет собою многообразие с краем; указанная сфера как раз и является этим краем. Если мы удалим этот шар из окружающего пространства, получим многообразие без края. Если мы сдерём с шара его поверхность, получится то, что на математическом жаргоне называется «ошкуренный шар», а в более научном языке — открытый шар. Если удалить открытый шар из окружающего пространства, получится многообразие с краем, и краем будет служить та самая сфера, которую мы содрали с шара. Баранка вместе со своей корочкой есть трёхмерное многообразие с краем, а если отодрать корочку (которую мы трактуем как бесконечно тонкую, то есть как поверхность), получим многообразие без края в виде «ошкуренной баранки». Всё пространство в целом, если понимать его так, как оно понимается в средней школе, есть трёхмерное многообразие без края.
Математическое понятие компактность отчасти отражает тот смысл, какой слово «компактный» имеет в повседневном русском языке: ‘тесный’, ‘сжатый’. Геометрическая фигура называется компактной, если при любом расположении бесконечного числа её точек они накапливаются к одной из точек или ко многим точкам этой же фигуры. Отрезок компактен: для любого бесконечного множества его точек в отрезке найдётся хотя бы одна так называемая предельная точка, любая окрестность которой содержит бесконечно много элементов рассматриваемого множества. Интервал не компактен: можно указать такое множество его точек, которое накапливается к его концу, и только к нему, — но ведь конец не принадлежит интервалу! За недостатком места мы ограничимся этим комментарием. Скажем лишь, что из рассмотренных нами примеров компактными являются отрезок, окружность, сфера, поверхности баранки и кренделя, шар (вместе со своей сферой), баранка и крендель (вместе со своими корочками). Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные шар, баранка и крендель не являются компактными. Среди трёхмерных компактных геометрических фигур без края простейшей является трёхмерная сфера, но в нашем привычном «школьном» пространстве такие фигуры не умещаются.
Самое, пожалуй, глубокое из тех понятий, которые связывает между собой гипотеза Пуанкаре, — это понятие гомеоморфии. Гомеоморфия — это наиболее высокая ступень геометрической одинаковости. Сейчас мы попытаемся дать приблизительное разъяснение этому понятию путём постепенного к нему приближения.
Уже в школьной геометрии мы встречаемся с двумя видами одинаковости — с конгруэнтностью фигур и с их подобием. Напомним, что фигуры называются конгруэнтными, если они совпадают друг с другом при наложении. В школе конгруэнтные фигуры как бы не различают, и потому конгруэнтность называют равенством. Конгруэнтные фигуры имеют одинаковые размеры во всех своих деталях. Подобие же, не требуя одинаковости размеров, означает одинаковость пропорций этих размеров; поэтому подобие отражает более сущностное сходство фигур, нежели конгруэнтность. Геометрия в целом — более высокая ступень абстракции, нежели физика, а физика — чем материаловедение. Возьмём, к примеру, шарик подшипника, бильярдный шар, крокетный шар и мяч. Физика не вникает в такие детали, как материал, из которого они сделаны, а интересуется лишь такими свойствами, как объём, вес, электропроводность и т. п. Для математики — все они шары, различающиеся только размерами. Если шары имеют разные размеры, то они различаются для метрической геометрии, но все они одинаковы для геометрии подобия. С точки зрения геометрии подобия одинаковы и все шары, и все кубы, а вот шар и куб — не одинаковы.
А теперь посмотрим на тор. Тор — эта та геометрическая фигура, форму которой имеют баранка и спасательный круг. Энциклопедия определяет тор как фигуру, полученную вращением круга вокруг оси, расположенной вне этого круга. Призываем благосклонного читателя осознать, что шар и куб «более одинаковы» между собой, чем каждый из них с тором. Наполнить это интуитивное осознание точным смыслом позволяет следующий мысленный эксперимент. Представим себе шар сделанным из материала столь податливого, что его можно изгибать, растягивать, сжимать и, вообще, деформировать как угодно, — нельзя только ни разрывать, ни склеивать. Очевидно, что шар тогда можно превратить в куб, но вот в тор превратить невозможно. Толковый словарь Ушакова определяет крендель как выпечку (буквально: как сдобную витую булку) в форме буквы В. При всём уважении к этому замечательному словарю, слова «в форме цифры
