Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [57]
В написанной в 1614 году книге «Описание восхитительных таблиц логарифмов» Непер использовал вариант логарифмов, слегка отличный от того, каким пользуются в современной математике. Логарифмы можно выражать как степень любого числа, которое называется в этом случае основанием. Система Непера основывалась на неоправданно сложном основании 1 - 10>-7 (после чего он умножал на 10>7). Генри Бриггс — современник Непера и ведущий английский математик того времени — приехал в Эдинбург, чтобы поздравить шотландца с его открытием. Бриггс пошел дальше Непера и упростил систему, введя логарифмы по основанию десять — они стали известны как логарифмы Бриггса, или просто десятичные логарифмы, и именно они приобрели самое широкое распространение. (В данной главе под «логарифмами» я понимаю именно десятичные логарифмы.) В 1617 году Бриггс опубликовал таблицы логарифмов всех чисел от 1 до 1000 с точностью в восемь десятичных разрядов. К 1628 году Бриггс и голландский математик Адриан Флакк расширили таблицы логарифмов до 100 000 с точностью в десять десятичных разрядов. Проведенные ими вычисления требовали упорного численного счета — при том, что после единственной ошибки в вычислении его надо было начинать сначала.
Если нанести числа от 1 до 10 на линейку, расположив их в соответствии со значениями их логарифмов, то получится приведенная ниже картина, которую можно продолжить, скажем, до 100:
Получилась так называемая логарифмическая шкала. В этом масштабе числа по мере их возрастания располагаются все ближе и ближе друг к другу.
Некоторые измерительные шкалы являются логарифмическими — каждый шаг от одного значения к следующему на такой шкале представляет десятикратное увеличение соответствующего значения. Самая широко применяемая из них — это шкала Рихтера, по которой измеряются амплитуды волн, записанных сейсмографом. Землетрясение в 7 баллов по шкале Рихтера означает амплитуду колебаний в десять раз большую, чем для землетрясения в 6 баллов.
В 1620 году английский математик Эдмунд Гантер впервые нанес логарифмическую шкалу на линейку. Он заметил, что использование пары циркулей и его логарифмической линейки позволяет умножать числа, не обращаясь к таблицам логарифмов; если циркуль установлен на значении 1 слева и на значении а справа, то при переносе левой иглы циркуля в любое число b окажется, что правая игла стоит на числе а × b. На рисунке показан циркуль, поставленный на 2, а затем перенесенный так, что его левая игла стоит на 3; правая при этом оказывается на отметке 2 × 3 = 6.
Гантеровское умножение 2 × 3 = 6
Прошло немного времени, и англиканский священник Уильям Отред усовершенствовал идею Гантера. Он отказался от циркуля, предложив вместо этого использовать две деревянные линейки с нанесенными на них логарифмическими шкалами, скользящие одна вдоль другой, — получилась «логарифмическая линейка». Это вычислительное устройство поистине фантастическое по своей гениальности, и несмотря на то, что в наши дни оно выглядит пережитком прошлого, у него есть свои истовые поклонники. К одному из них — Питеру Хоппу — я заехал в гости в его родной городок в 40 милях от Лондона. «Между 1700-ми годами и 1975 годом все без исключения инновации в технике совершались с помощью логарифмической линейки», — сказал он мне, встречая меня на станции. Хопп — инженер-электрик на пенсии — необычайно любезный человек с клочковатыми бровями, голубыми глазами и роскошными бакенбардами. Он показал мне свою коллекцию логарифмических линеек, одну из самых больших в мире, содержащую более тысячи этих позабытых героев нашего научного прошлого. По дороге к его дому мы обсуждали с ним коллекционирование. Хопп заметил, что все самое лучшее продается на интернет-аукционах, и конкуренция приводит к взвинчиванию цен. А редкая логарифмическая линейка, сказал он, легко может стоить более тысячи долларов.
Когда мы добрались до его дома, миссис Хопп предложила нам чаю, а потом мы удалились в его кабинет, где он показал мне деревянную логарифмическую линейку 1970-х годов, изготовленную фирмой «Faber-Castell», с пластиковым покрытием цвета магнолии. Она ничем не отличалась от обычной 30-сантиметровой линейки, только внутри нее имелась подвижная средняя часть. На ней очень тонким шрифтом были нанесены несколько различных шкал. Кроме того, имелся прозрачный подвижный бегунок с рисками. Вид этого изделия фирмы «Faber-Castell» и то, каково оно было на ощупь, вызывало глубокие ассоциации с послевоенной докомпьютерной эрой чудаков-зубрил, когда занудничающие умники ходили в рубашках и галстуках и носили в карманах пластиковые пеналы, набитые ручками, — не то что нынешние, в футболках и кедах, с айподом в руках.
Я ходил в британскую младшую и среднюю школу в 1980-х годах, когда логарифмическими линейками уже больше не пользовались, так что Хопп прочитал мне краткий вводный курс. Он посоветовал, чтобы я, как начинающий, использовал шкалу от 1 до 100 на основной линейке и соседнюю с ней шкалу от 1 до 100 на подвижной средней части.
Умножение двух чисел с помощью логарифмической линейки — операция совсем не сложная, при этом даже не требуется понимать, что такое логарифмы. Пусть, например, я собираюсь умножить 4,5 на 6,2. Мне надо сложить длину, отмеченную как 4,5 на одной линейке, с длиной, отмеченной как 6,2 на другой. Для этого я сдвигаю среднюю подвижную часть линейки так, чтобы 1, нанесенная на ней, совпала с точкой 4,5 на основной линейке. Результат этого умножения находится в точке на основной линейке, стоящей напротив числа 6,2 на средней линейке. Все понятно из рисунка:
