Актуальность сложности. Вероятность и моделирование динамических систем - [24]

Разумеется, способ упорядочения возможностной структуры иной, нежели для пространства-времени. Наглядным свидетельством тому является весьма специфический факт замкнутости значений вероятности в интервале от 0 до 1. На эту сторону дела в нашей литературе меньше всего обращают внимание. Между тем ее рассмотрение весьма полезно для понимания соотношения вероятности, возможности и необходимости. В данной связи в высшей степени интересными представляются некоторые наблюдения и выводы, содержавшиеся в известной статье Г. Фройденталя «Существует ли специфическая проблема применения вероятностей?» [72].

Выделяя среди математических понятий большую группу простых переменных, Г.Фройденталь называл их величинами. Последние он разделял на три класса.

Первый класс. Он допускает точный подсчет без какой-либо ошибки (т.е. их можно измерить в дискретном монадическом атомическом ряде).

Эти величины он называл качествами. Их различные значения отделяют их друг от друга как вполне самостоятельные качества. Суть процесса измерения качеств совпадает по Фройденталю с процессом ответа на разделительный вопрос.

Этот метод применим там, где объект измерения явно разделен на подклассы, дискретен в смысле, например, наличия альтернатив. Тогда измерение есть последовательный перебор альтернатив, что способно задать меру объекта. Измерение качеств отличается от измерения количеств в особенном их смысле.

Количество имеет более или менее непрерывный характер. Его можно измерить с произвольно малыми ошибками путем детализации масштаба. Но уже на каждом этапе можно задать точно границы возможного значения величины, а тем самым переход к следующему этапу опирается на знание качества.

Третий род величин. Их измерение с какой-либо точностью в строгом смысле этого слова недостижимо. Но невозможность избежать ошибки не является препятствием для работы с этими величинами, в том числе и в экспериментальной области. С этой целью обращаются к предположению о количестве ошибки (в смысле степени, величины ее). Такие предположения не претендуют на строгую точность. Отсюда термин для данного рода величин - предположительности. К их числу относится вероятность, а также интеграл экспериментальной функции. [73]

Фройденталь говорил, что примером экспериментальной функции может служить запись барографа, термографа и т.д., фиксирующая изменение некоторого параметра во времени. Здесь неточность двух видов: 1) вследствие известной толщины линии в записи; 2) вследствие инерции прибора.

Первая неточность - практически того же рода, что и неточность при измерении длин (т.е. имеет количественный характер). В отношении второй дело сложнее. Попытка детализации, связанная с уменьшением инерции, выводит кривую за границы первоначальной линии, даваемой ее толщиной. И такое отклонение может быть сколь угодно велико. Прибор в силу инерции регистрирует какие-то временные средние (т.е. уже функционально обработанные) параметры.

На практике же руководствуются идеей «стандарта непрерывности» измеряемой функции, т.е. полагают, что существует такая функция 5(e), ограничивающая колебания нашей функции f (в каждом интервале длины 5 колебания нашей функции не превышают е) [74].

Когда известен такой стандарт непрерывности, достаточно измерить нашу функцию f лишь в конечном ряде точек с плотностью меньше 5, чтобы рассчитать всю функцию f во всех точках с точностью е, и, наконец, интеграл с точностью lе, где l - длина пути инерции. Но Фройденталь указывает далее, что недостаточно предположения абстрактного существования стандарта непрерывности для определения функции. Надо еще полностью определить вид непрерывности. Однако сам стандарт непрерывности 5(e) нельзя измерить. Это чистое допущение, которое явно или неявно делается на практике. Так, интеграция некоторого набора экспериментальных значений (зафиксированных скажем точками в пространстве двух переменных) осуществляется с помощью наиболее простой функции, которая удовлетворяла бы этим значениям. Этот прием, например, используется при интерполяции экспериментальных значений пути падения как функции времени падения, полученных прибором Альтвуда. Средством интерполяции служит квадратичная функция.

Более объективный метод интерполяции связан с обращением к вероятности (можно указать на способ доверительных интервалов). И в этом месте Фройденталь специально подчеркивает, что переход к вероятности не снимает момента выбора, предположения, в силу чего измерение функций оставляет нас в классе величин, которые он назвал предположительностями. С классом предположительности мы имеем дело и при расчете пределов или сумм бесконечных рядов. Разница с измерением функций лишь та, что здесь используется прием экстраполяции. Скажем, переход к пределу осуществляется посредством фиксации конечного ряда, что позволяет получить приближенное значение предела (т.е. «аппроксимировать» его), опираясь, например, на известное значение арифметического среднего наблюдаемого конечного ряда. При этом исходят из предположения, что дальнейшее наблюдение не приведет к слишком большой ошибке.