25 этюдов о шифрах - [7]
2.2. Случайность и закономерность в двоичных последовательностях
Понятие последовательности известно еще со школьных лет. Однако последовательности, которые там изучались, были детерминированными — они однозначно восстанавливались по их нескольким элементам. Так, арифметическая и геометрическая прогрессии восстанавливаются по любым двум своим подряд идущим членам. Значения многочлена в целых точках также образуют детерминированную последовательность: она определяется любыми n+1 своими членами, где n — степень данного многочлена (докажите это!).
Но существуют и другие последовательности, так называемые случайные. Для них, в отличие от детерминированных, вообще говоря, нельзя определить очередной член последовательности, зная предыдущие. Опишем простейший способ получения двоичной случайной последовательности.
Пусть мы подбрасываем «правильную» монету. В зависимости от того, как она падает, полагаем очередной член последовательности равным 0 (орел) или 1 (решка). Как показывает опыт, обычно нельзя угадать, как монета упадет в очередной раз. Однако, если подбрасывать монету достаточно долго, примерно в половине случаев выпадет орел, а в половине — решка. Говорят, что монета падает случайным образом, причем в каждом подбрасывании с одинаковой вероятностью ½ выпадает орел (0) или решка (1).
Однако бывают ситуации («кривая монета»), когда орел и решка выпадают с разной вероятностью — p и q соответственно (p≠q). Отметим, что p+q=1! В случайной двоичной последовательности, полученной на основе подбрасывания «кривой монеты», p можно считать частотой появления нуля, а q — частотой появления единицы.
Для тех кто изучал пределы, уточним: если обозначить через S>0(k) число нулей, а через S>1(k) — число единиц среди k первых членов нашей последовательности, то тогда предел отношения S>0(k)/k равен p и предел отношения S>1(k)/k равен q при k стремящемся к бесконечности.
Контрольный вопрос. Пусть мы случайным образом подбрасываем монету, причём p=q=½ и первые сто членов соответствующей последовательности равны 1 (100 раз подряд выпала решка). Чему равно вероятность того, что 101-ым членом этой последовательности снова будет 1?
Правильный ответ на этот вопрос: ½. Так как q=½, а случайность нашей последовательности как раз и означает, что каждый очередной её член равен 1 с вероятностью qнезависимо от того, какими были предыдущие её члены.
Обычно последовательности, с которыми на практике приходится иметь дело, вообще говоря, не строго случайные (неслучайные). Изучение случайных и неслучайных двоичных последовательностей имеет важное значение для криптографии. Например, выявление закономерностей в шифрованных сообщениях очень полезно при вскрытии шифра (см. этюд 2.7). В этюде 2.5 вы также узнаете, что для построения абсолютно стойкого шифра необходимо уметь получать совершенно случайный ключ.
Задачам различения случайной и неслучайной последовательностей, а также выявления закономерностей в неслучайных последовательностях посвящено много исследований в различных областях математики. Так, например, один из основных разделов математической статистики — это проверка статистических гипотез, в котором, в частности, разрабатываются методы различения гипотез о природе и характеристиках наблюдаемых последовательностей. Другой пример — это активно изучаемый в современной теоретической криптографии гипотетический объект — псевдослучайный генератор. При изучении этого объекта используются многочисленные результаты теории сложности алгоритмов и вычислений. Говоря неформально, псевдослучайный генератор вырабатывает такие последовательности, которые трудно отличить от случайных и из которых трудно извлечь закономерности. Строгие определения необходимых понятий выходят за рамки нашей книги.
Близким по духу, но более простым и хорошо известным, особенно для программистов, является такой объект, как датчик случайных чисел. Это — некоторое устройство или программа, которая вырабатывает псевдослучайные последовательности. Псевдослучайные последовательности в некоторых ситуациях считают неотличимыми от случайных, причем для разных ситуаций и задач подбирают подходящие датчики. Чем более сильные требования накладываются на случайность вырабатываемых последовательностей, тем более сложным является соответствующий датчик случайных чисел. Многие шифрмашины можно считать датчиками случайных чисел, удовлетворяющими очень высоким требованиям на качество вырабатываемых последовательностей.
Опишем, например, один простейший датчик, предложенный в 1949 году Д.Х. Лемером и в дальнейшем получивший название линейного конгруэнтного метода. Для заданного начального числа a>0 он вырабатывает бесконечную последовательность натуральных чисел {a>k} по следующему рекуррентному закону:
a>k=d+a>k−1 ∙ ℓ(modN).
Здесь параметры датчика d, ℓ, N — некоторые целые числа. Запись a=b(modN), вообще говоря, означает, что a−b делится на число N; в данном случае в качестве a>k берется остаток от деления d+a>k−1 ∙ ℓ на N.
Поскольку все члены последовательности {a>k} — неотрицательные целые числа, не превосходящие
